Insiemi di convergenza ed assoluta convergenza
Salve a tutti! Oggi pomeriggio svolgendo alcuni testi d'esame scritti dalla mia professoressa di analisi mi sono imbattuto in un esercizio che mi ha messo in difficoltà e a cui, nonostante sembri essere banale, non riesco a dare una risposta "completa". Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Determinare l'insieme di convergenza e quello di assoluta convergenza della serie
\(\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(x^2+ln(n))}\)
Si vede subito che si tratta di una serie a segni alterni, poichè il denominatore è una quantità sempre positiva (la serie parte da n=2, e ln(2) è un numero positivo) e il numeratore vale \(\pm\)1, a seconda che n sia pari o dispari.
Essendo una serie a segni alterni posso percorrere due strade diverse per stabilirne il carattere:
-studiare la serie dei valori assoluti (potendo così desumere per quali valori di x la mia serie converge assolutamente);
-ricorrere al criterio di Leibniz.
Considerata quindi
\(a_n = \frac{1}{(x^2+ln(n))}\)
si ha
\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n= 0\)
Poichè si vede subito che
\(ln(n) < ln(n+1) \gg x^2 + ln(n) < x^2 + ln(n+1) \gg \frac{1}{x^2 + ln(n)} > \frac{1}{x^2 + ln(n+1)} \forall n \varepsilon N\)
Si può concludere che
\(\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(x^2+ln(n))}\) è convergente \(\forall x \varepsilon R\)
Ho così determinato l'insieme di convergenza per la mia serie.
Per determinare l'insieme di assoluta convergenza dovrei studiare la serie dei valori assoluti, e qui sorgono le difficoltà.
Sia \(b_n = \frac{(-1)^n}{(x^2+ln(n))}\);
allora \(|b_n| = \frac{1}{x^2 + ln(n))}\);
Utilizzando il criterio del rapporto o quello della radice, ottengo che
\(\lim_{n\rightarrow \infty} |b_n|= 1\)
per cui non posso dire nulla sulla serie.
Avevo pensato di provare ad utilizzare il teorema del confronto: poichè devo trovare gli intervalli di assoluta convergenza, necessito di una successione \(c_n\) con tali caratteristiche:
*\(c_n \geq |b_n| \forall n \varepsilon N\);
*\(\sum_{n=2}^\infty c_n\) \(convergente\);
Ho fatto vari tentativi, ma non sono riuscito a trovare una \(c_n\) che soddisfasse tali condizioni. Ho forse sbagliato qualcosa nelle mie considerazioni? Posso procedere in altro modo? Grazie in anticipo per le risposte che mi darete.
"Determinare l'insieme di convergenza e quello di assoluta convergenza della serie
\(\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(x^2+ln(n))}\)
Si vede subito che si tratta di una serie a segni alterni, poichè il denominatore è una quantità sempre positiva (la serie parte da n=2, e ln(2) è un numero positivo) e il numeratore vale \(\pm\)1, a seconda che n sia pari o dispari.
Essendo una serie a segni alterni posso percorrere due strade diverse per stabilirne il carattere:
-studiare la serie dei valori assoluti (potendo così desumere per quali valori di x la mia serie converge assolutamente);
-ricorrere al criterio di Leibniz.
Considerata quindi
\(a_n = \frac{1}{(x^2+ln(n))}\)
si ha
\(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n= 0\)
Poichè si vede subito che
\(ln(n) < ln(n+1) \gg x^2 + ln(n) < x^2 + ln(n+1) \gg \frac{1}{x^2 + ln(n)} > \frac{1}{x^2 + ln(n+1)} \forall n \varepsilon N\)
Si può concludere che
\(\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(x^2+ln(n))}\) è convergente \(\forall x \varepsilon R\)
Ho così determinato l'insieme di convergenza per la mia serie.
Per determinare l'insieme di assoluta convergenza dovrei studiare la serie dei valori assoluti, e qui sorgono le difficoltà.
Sia \(b_n = \frac{(-1)^n}{(x^2+ln(n))}\);
allora \(|b_n| = \frac{1}{x^2 + ln(n))}\);
Utilizzando il criterio del rapporto o quello della radice, ottengo che
\(\lim_{n\rightarrow \infty} |b_n|= 1\)
per cui non posso dire nulla sulla serie.
Avevo pensato di provare ad utilizzare il teorema del confronto: poichè devo trovare gli intervalli di assoluta convergenza, necessito di una successione \(c_n\) con tali caratteristiche:
*\(c_n \geq |b_n| \forall n \varepsilon N\);
*\(\sum_{n=2}^\infty c_n\) \(convergente\);
Ho fatto vari tentativi, ma non sono riuscito a trovare una \(c_n\) che soddisfasse tali condizioni. Ho forse sbagliato qualcosa nelle mie considerazioni? Posso procedere in altro modo? Grazie in anticipo per le risposte che mi darete.
Risposte
Per la convergenza assoluta ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua!
Si ha che $ln(n) <= n$ , quindi $ 1/(n + x^2) <= 1/(ln(n) + x^2)$ , $AA n >= 2$.
Si ha che $ln(n) <= n$ , quindi $ 1/(n + x^2) <= 1/(ln(n) + x^2)$ , $AA n >= 2$.
Per prima cosa, grazie per la tempestiva risposta.
Correggimi se sbaglio: io devo cercare una maggiorante di \(|b_n|\) che converga, giusto? La successione che mi hai proposto non è una minorante della mia successione?
Correggimi se sbaglio: io devo cercare una maggiorante di \(|b_n|\) che converga, giusto? La successione che mi hai proposto non è una minorante della mia successione?
Se vuoi dimostrare che la serie converge devi proporre una maggiorante che converga. Trovando una minorante che diverge (perché in effetti $sum 1/(n + x^2)$ ha lo stesso carattere della serie armonica) cosa puoi dire?
Posso dire che la maggiorante diverge...e quindi concludo dicendo che la mia serie converge per ogni x, ma non converge mai assolutamente?
Non ho controllato la convergenza semplice. Però sì, è assolutamente divergente.
Grazie infinite, davvero...mi ero accanito nella ricerca di una maggiorante senza considerare l'ipotesi della divergenza.
Comunque abituati a vedere queste cose ad occhio... $x^2$ al denominatore non cambia il carattere della serie; quindi il termine generale va a $0$ come $1/(log(n))$ e $log(n)$ sai che è un infinito di ordine inferiore rispetto a $n$. Se già $sum 1/n$ è divergente, non c'è speranza che converga la tua serie (o meglio: la serie dei valori assoluti).
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