Insiemi connessi

[leev]

Ciaoo
sto analizzando questo esempio del corso, xo nn mi quadra troppo...

H={x € IR^2| x1^2-x^2=1} sotto insieme di IR^2

Sia U= {x € IR^2|x1>0} intersecato con H
e V= {x € IR^2|x2<0} intersecato con H

Si dice...U e V sono aperti in H (Perché???), poi nn hanno elementi in comune, nn sono vuoti, quindi H non è connesso...e mi sta bene.

Ma non vedo proprio perché sono aperti U e V...sapreste spiegarmelo??

grazie


L.L

[Platone2]

Bhe, l'insieme H in R^2 è un iperbole centrata nell'origine, e U e V sono i due rami (uno contenuto tutto nel semipiano con ascisse positive e uno nell'altro). Che U e V sono aperti lo si può vedere in diversi modi; forse il più semplice e quello basato sulla definizione di aperto (in questo caso basta ragionare sugli spazi metrici e non necessariamente su quelli topologici). U è aperto in H perchè per ogni xo appartenente a U esiste un intorno di xo nello spazio H contenuto in U. Visivamente lo capisci considerando il fatto che i rami dell'iperbole vanno all'infinito. E' come il fatto che in R la semiretta ]xo,+inf[ è aperta.
Se non hai capito dimello che provo a spiegartelo in un altro modo.

Platone

[leev]

Sì penso di aver abbastanza capito, però mi chiedevo... essendo H sottoinsieme di R^2, nn bisognrebbe considerare come intorno del punto x0 un determinato cerchio di raggio r>0?! [direi di no, visto che se fosse così, questo cerchio non apparterrebbe a U...e di conseguenza U nn sarebbe chiaramente aperto;]
ma forse questo si fa per verificare se gli insiemi sono aperti/chiusi in R^2, giusto?!?

thanks

L.L

[Platone2]

Esatto, e come su R, gli aperti sono gli intervalli (aperti).
Il fatto che H è un sottinzieme di R^2 non porta a contraddizione, anzi deve essere proprio così per definizione di sottospazio topologico: gli aperti di H sono gli aperti di R^2 (quindi anche le palle di raggio r) intersecati con H stesso.

Platone.

[leev]

Ok; grazie platone

ciau

L.L