Insiemi connessi

[TS778LB]

Il mio libro di Analisi II (Marcellini-Sbordone) si appresta alla definizione di insieme connesso partendo dal considerare un sottoinsieme aperto di $ R^n $. Quindi prima di poter discutere dell’eventuale connessione di un insieme occorre verificare che sia aperto?
Il dubbio mi viene quando leggendo il teorema di caratterizzazione dei connessi di $ R $, leggo che i connessi di $ R $ sono tutti e soli gli intervalli. Si intende quindi solo gli intervalli aperti del tipo (a,b)? Escludendo (a,b] e [a,b]?
Grazie

[solaàl]

Quindi prima di poter discutere dell’eventuale connessione di un insieme occorre verificare che sia aperto?

No, non necessariamente: la definizione di connessione è data rispetto alla topologia di sottospazio; se il sottospazio era già un aperto, hai definito un aperto connesso. Ma ogni \(]a,b]\) è connesso (persino per archi), così come l'insieme \(\prod_{i=1}^{36} \langle a_i,b_i\rangle\subset \mathbb R^{36}\), dove \(\langle a_i,b_i\rangle = [a_i,b_i[\) se \(i\) è pari, e \(]a_i,b_i]\) se \(i\) è dispari.

[TS778LB]

Dire che un insieme è connesso se non può essere rappresentato come l’unione di due insiemi aperti non vuoti e disgiunti implica che l’unica possibilità di rappresentarlo sia come unione tra l’insieme vuoto ed esso stesso? Perché in tal caso sarebbe richiesto il fatto che l’insieme sia aperto. Forse la definizione di connesso che ho io vale solo per aperti. Qual è la più generale?

[gugo82]

"TS778LB":[...] un insieme è connesso se non può essere rappresentato come l’unione di due insiemi aperti non vuoti e disgiunti [...]

"Aperti" in quale spazio topologico?