Insiemi connessi

[BullDummy]

Buongiorno a tutti. Ho un dubbio riguardante la definizione di insieme connesso: "un insieme è connesso se e solo se non può essere espresso come unione di almeno due insiemi aperti, non vuoti e disgiunti". Ipotizziamo di essere sul piano $ R ^ 2 $ e di avere l'insieme $ A = {(x,y) in R^2:x^2+y^2<=1} uu {(x,y) in R^2:(x-10)^2+y^2<=1} $. Mi viene indicato che tale insieme è non connesso. Se ciò fosse vero vorrebbe dire che questo può essere formulato come unione di insiemi aperti, non vuoti e disgiunti, che però io non riesco ad individuare. Potete aiutarmi? Grazie in anticipo.

[javicemarpe]

Equivalently, you can say that a set is connected iff it cannot be written as the union of two disjoint closed sets, because a set is open iff its complementary is closed.

Now, you may observe that $A$ is the union of two disjoint closed circles, so $A$ is not connected.

[dissonance]

Infatti il problema è che gli insiemi aperti sono presi rispetto alla topologia di \(A\). In questa topologia sono aperti gli insiemi che sono intersezione di un aperto di \(\mathbb R^2\) con \(A\). Perciò, i due cerchi che compongono \(A\) sono due insiemi aperti.