Insiemi compatti in spazi topologici
Ho letto la dimostrazione di questo fatto:
A subset \(\displaystyle K \) of a topological space \(\displaystyle (X,\tau) \) is a compact subset of \(\displaystyle X \) if and only if \(\displaystyle K \) is compact as a subset of itself with the topology induced from \(\displaystyle (X,\tau) \).
e fin qui chiaro, tutto ok.
Successivamente, mi viene proposta la seguente considerazione aggiuntiva: quanto dimostrato fa vedere come la proprietà di compattezza di un insieme è assoluta e non dipende dall'insieme "ambiente".
Non ho ben capito perché. Nonostante la proposizione dimostrata, non potrebbe comunque esistere un altro spazio topologico \(\displaystyle (Y,\tau ') \) (\(\displaystyle K\subset Y \)) in cui da qualunque copertura di \(\displaystyle K \) fatta di elementi di \(\displaystyle \tau ' \) non si riesce mai ad estrarre una sottocopertura finita?
A subset \(\displaystyle K \) of a topological space \(\displaystyle (X,\tau) \) is a compact subset of \(\displaystyle X \) if and only if \(\displaystyle K \) is compact as a subset of itself with the topology induced from \(\displaystyle (X,\tau) \).
e fin qui chiaro, tutto ok.
Successivamente, mi viene proposta la seguente considerazione aggiuntiva: quanto dimostrato fa vedere come la proprietà di compattezza di un insieme è assoluta e non dipende dall'insieme "ambiente".
Non ho ben capito perché. Nonostante la proposizione dimostrata, non potrebbe comunque esistere un altro spazio topologico \(\displaystyle (Y,\tau ') \) (\(\displaystyle K\subset Y \)) in cui da qualunque copertura di \(\displaystyle K \) fatta di elementi di \(\displaystyle \tau ' \) non si riesce mai ad estrarre una sottocopertura finita?
Risposte
Si. Ma infatti è sottointeso che \(\tau\) è fissata una volta per tutte.
Ottimo, grazie del chiarimento. 
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