Insiemi compatti

[Marco214]

Ragazzi un insieme si dice compatto quando è "chiuso e limitato"?

Thank you:-))

[Sk_Anonymous]

No. La compattezza e' una proprieta' topologica. Un insieme e' compatto se ogni suo ricoprimento costituito da insiemi aperti ha un sottoricoprimento finito.

Se l'insieme in questione e' un sottoinsieme di uno spazio di dimensione finita, allora un insieme e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato. In dimensione infinita non e' piu' vero.

In uno spazio metrico poi si puo' dare la definzione di insieme sequenzialmente compatto, ovvero di insieme tale che ogni successione in esso ammette un'estratta convergente. In uno spazio metrico un insieme e' compatto se e solo se e' sequenzialmente compatto.

Luca.

[Marco214]

Grazie Luca...Puntuale come sempre;-)

[Studente Anonimo]

Siccome questo è un argomento di grande importanza (come del resto tutta la topologia che è la vera anima della matematica), vorrei proporvi il seguente caso.

Consideriamo l'insieme A delle funzioni f(k)(x) con k =1,2,... (k è un indice) da R ad R ed a quadrato sommabile (cioè dotate della norma L^2) definite da :

f(k)(x) = 0 per x > k e x < k - 1
f(k)(x) = 1 per k-1 <= x <= k

di che insieme si tratta dal punto di vista topologico ?

Buon fine settimana. Arrigo.

ps. la norma L^2 è :

||f|| = sqrt(integrale(-00, +00)|f(x)|^2 dx)