Insiemi Compatti
Ciao a tutti! 
Dovrei svolgere questo esercizio in preparazione all'esame di analisi 2 ma non riesco proprio a capire come si può fare.
Dato l'insieme $ x^2+y^2+xy-1=0 $ come posso dire che è compatto?
Non riesco nè a riconoscerlo nè a trovare una parametrizzazione, potete aiutarmi?
Grazie a tutti!
Dovrei svolgere questo esercizio in preparazione all'esame di analisi 2 ma non riesco proprio a capire come si può fare.
Dato l'insieme $ x^2+y^2+xy-1=0 $ come posso dire che è compatto?
Non riesco nè a riconoscerlo nè a trovare una parametrizzazione, potete aiutarmi?
Grazie a tutti!
Risposte
L'insieme delle soluzioni di quell'equazione è un'ellisse, che è compatta.
In $RR^n $ dotato di metrica euclidea, compatto equivale a chiuso e limitato.
Ciao Raivo,
Benvenuto sul forum!
Per la precisione si tratta di un'ellisse di centro $O(0, 0)$, che puoi pensare posizionata con l'asse maggiore sull'asse $y$ e l'asse minore sull'asse $x$ e poi ruotati verso sinistra di $\pi/4 $, che interseca l'asse $x$ nei punti $(- 1,0)$ e $(1, 0)$ e l'asse $y$ nei punti $(0, - 1)$ e $(0, 1)$. Per vederlo meglio e riportarla alla forma canonica si può osservare che si ha:
$x^2 + xy + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + xy + y^2 = 1 \implies (x + y/2)^2 + 3y^2/4 = 1 \implies (x + y/2)^2 + frac{y^2}{(2/sqrt{3})^2} = 1 $
Posto $X := x + y/2 $ e $Y := y $ si può scrivere:
$frac{X^2}{1^2} + frac{Y^2}{(2/sqrt{3})^2} = 1 $
Quest'ultima è proprio l'equazione canonica di un'ellisse di semiasse minore $b = 1 $ e semiasse maggiore $a = 2/sqrt{3} $.
Benvenuto sul forum!
Per la precisione si tratta di un'ellisse di centro $O(0, 0)$, che puoi pensare posizionata con l'asse maggiore sull'asse $y$ e l'asse minore sull'asse $x$ e poi ruotati verso sinistra di $\pi/4 $, che interseca l'asse $x$ nei punti $(- 1,0)$ e $(1, 0)$ e l'asse $y$ nei punti $(0, - 1)$ e $(0, 1)$. Per vederlo meglio e riportarla alla forma canonica si può osservare che si ha:
$x^2 + xy + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + xy + y^2 = 1 \implies (x + y/2)^2 + 3y^2/4 = 1 \implies (x + y/2)^2 + frac{y^2}{(2/sqrt{3})^2} = 1 $
Posto $X := x + y/2 $ e $Y := y $ si può scrivere:
$frac{X^2}{1^2} + frac{Y^2}{(2/sqrt{3})^2} = 1 $
Quest'ultima è proprio l'equazione canonica di un'ellisse di semiasse minore $b = 1 $ e semiasse maggiore $a = 2/sqrt{3} $.
Ok ho capito grazie mille a tutti!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo