Insiemi chiusi + Teorema di Compattezza
Esercizio: Sia $f : [ 0 , +oo [ -> RR$ continua e supponiamo che, $AA x , x >= 3$ , sia $f(x) = 3$.
Dimostrare che $f$ manda insiemi chiusi in insiemi chiusi.
Svolgimento:
Banale applicazione del teorema di compattezza.
____
Domanda: Come funzionano le nozioni di insieme chiuso e insieme aperto quando l'insieme consta di un unico elemento?
L'esercizio precedente fa concludere che $f ( [ 3 , 4 ] ) = {3}$ è un insieme chiuso.
Perdonatemi se ho tralasciato qualcosa di fondamentale.
EDIT: Ho trovato su Wikipedia la seguente affermazione:
"In topologia, uno spazio è uno spazio T1 se e solo se ogni singoletto è chiuso."
Ma non ho idea di cosa significhi.
Dimostrare che $f$ manda insiemi chiusi in insiemi chiusi.
Svolgimento:
Banale applicazione del teorema di compattezza.
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Domanda: Come funzionano le nozioni di insieme chiuso e insieme aperto quando l'insieme consta di un unico elemento?
L'esercizio precedente fa concludere che $f ( [ 3 , 4 ] ) = {3}$ è un insieme chiuso.
Perdonatemi se ho tralasciato qualcosa di fondamentale.
EDIT: Ho trovato su Wikipedia la seguente affermazione:
"In topologia, uno spazio è uno spazio T1 se e solo se ogni singoletto è chiuso."
Ma non ho idea di cosa significhi.
Risposte
"Seneca":
Domanda: Come funzionano le nozioni di insieme chiuso e insieme aperto quando l'insieme consta di un unico elemento?
L'esercizio precedente fa concludere che $f ( [ 3 , 4 ] ) = {3}$ è un insieme chiuso.
Non puoi rispondere a questa domanda in senso univoco, perchè tutto dipende dalla topologia che metti sul tuo insieme.
Generalmente, si ha a che fare con spazi almeno T1 (è uno degli assiomi di separazione, lo vedrai), e in essi appunto i punti sono chiusi.
Tieni conto che $RR$ (ma pù in generale anche $RR^n$) sono spazi di Hausdorff (T2) e ciò implica che essi siano anche $T1$.
Quindi, se ti stai occupando di elementi di analisi reale (come credo) e non stai lavorando in spazi strambi con topologie bislacche, puoi tranquillamente considerare ogni singoletto chiuso e anche ogni insieme finito chiuso (perchè unione finita di chiusi).
Chiaro?
Ciao Paolo.
Grazie, non potevi essere più chiaro di così.
Grazie, non potevi essere più chiaro di così.
Prego, Seneca, figurati, è un piacere.
Aggiungo una domanda. Nella dimostrazione del teorema di compattezza parto considerando una successione - a valori in $f(K)$ - che negli appunti è denotata dalla scrittura $y_n = f(x_n)$
Ovviamente non è detto che $(x_n)_n$ (successione in $K$, compatto) sia unica. A me basta sapere che qualunque sia la successione $(x_n)_n$, da essa posso sempre estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di $K$, giusto? Prendo una $(x_n)_n$ qualsiasi?
Ovviamente non è detto che $(x_n)_n$ (successione in $K$, compatto) sia unica. A me basta sapere che qualunque sia la successione $(x_n)_n$, da essa posso sempre estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di $K$, giusto? Prendo una $(x_n)_n$ qualsiasi?
Ho trovato sul Prodi la risposta.
Si fa uso dell'assioma della scelta - come era evidente, in effetti.
Si fa uso dell'assioma della scelta - come era evidente, in effetti.
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