Insiemi chiusi e aperti. (piccoli cenni di topologia)
Premesso che dell'argomento conosciamo solo le due definizioni cioè ,
Def 1 : $A \sube RR$ è chiuso se $Dr(A) sube A$ (Dr indica l'insieme dei punti di accumulazione)
Def 2 : $A \sube RR$ è aperto se $C|_(\mathbb{R})$ (complementare) è un chiuso.
Il professore ci ha chiesto di dimostrare che se
1)
$I$ è una famiglia di indici. E $AA i \in I$ , $C_i$ sono insiemi chiusi. Allora $nn _(i \in I) C_i$ è un chiuso.
Ho ragionato per induzione su $I$.
Se $I=2$ , Allora considero $C_1,C_2$ insiemi chiusi. Poiché vale che $Dr(C_1) \sube C_1$ e $Dr(C_2) sube C_2$ , allora vale anche che $Dr(C_1)nnDr(C_2) sube C_1 nn C_2$. Quindi l'intersezione di due chiusi è un chiuso.
Supponiamo vera la tesi per $n$ e dimostriamola per $n+1$.
Consideriamo $C_1,C_2,...,C_n,C_(n+1)$ insiemi chiusi ,
allora
$C_1 nn C_2 nn .. C_n nn C_(n+1) = (C_1 nn C_2 nn .. C_n )nn C_(n+1) $ ($nn$ è associativa!)
Allora i primi n , sono chiusi per ipotesi induttiva. Posto $B=C_1 nn C_2 nn .. C_n$ ho da considerare $Bnn C_(n+1)$ , ora per base induttiva, si ha che questa intersezione è un chiuso. Ciò mostra l'asserto.
può andare?
grazie mille
Def 1 : $A \sube RR$ è chiuso se $Dr(A) sube A$ (Dr indica l'insieme dei punti di accumulazione)
Def 2 : $A \sube RR$ è aperto se $C|_(\mathbb{R})$ (complementare) è un chiuso.
Il professore ci ha chiesto di dimostrare che se
1)
$I$ è una famiglia di indici. E $AA i \in I$ , $C_i$ sono insiemi chiusi. Allora $nn _(i \in I) C_i$ è un chiuso.
Ho ragionato per induzione su $I$.
Se $I=2$ , Allora considero $C_1,C_2$ insiemi chiusi. Poiché vale che $Dr(C_1) \sube C_1$ e $Dr(C_2) sube C_2$ , allora vale anche che $Dr(C_1)nnDr(C_2) sube C_1 nn C_2$. Quindi l'intersezione di due chiusi è un chiuso.
Supponiamo vera la tesi per $n$ e dimostriamola per $n+1$.
Consideriamo $C_1,C_2,...,C_n,C_(n+1)$ insiemi chiusi ,
allora
$C_1 nn C_2 nn .. C_n nn C_(n+1) = (C_1 nn C_2 nn .. C_n )nn C_(n+1) $ ($nn$ è associativa!)
Allora i primi n , sono chiusi per ipotesi induttiva. Posto $B=C_1 nn C_2 nn .. C_n$ ho da considerare $Bnn C_(n+1)$ , ora per base induttiva, si ha che questa intersezione è un chiuso. Ciò mostra l'asserto.
può andare?
grazie mille
Risposte
L'idea credo sia quella. Tuttavia secondo la definizione dovresti dimostrare che $\text{Der}(C_1\cap C_2) \subseteq C_1\cap C_2$, quindi a rigore credo che dovresti quantomeno trovare una relazione di inclusione tra $\text{Der}(C_1\cap C_2)$ e $\text{Der}(C_1) \cap \text{Der}(C_2)$ (il che dovrebbe essere abbastanza facile immagino). Sei d'accordo?
E poi, l'insieme di indici è numerabile vero? Perché altrimenti non funziona l'induzione!
"Lemniscata":
L'idea credo sia quella. Tuttavia secondo la definizione dovresti dimostrare che $\text{Der}(C_1\cap C_2) \subseteq C_1\cap C_2$, quindi a rigore credo che dovresti quantomeno trovare una relazione di inclusione tra $\text{Der}(C_1\cap C_2)$ e $\text{Der}(C_1) \cap \text{Der}(C_2)$ (il che dovrebbe essere abbastanza facile immagino). Sei d'accordo?
hai ragione, non ci ho pensato...
e non ho tenuto conto del fatto che $I$ dovesse essere numerabile, se $I$ è numerabile posso utilizzare l'induzione (facendo dei piccoli accorgimenti come mi hai fatto notare)
Se $I$ non è numerabile come mi muovo? So che quella proposizione è vera, ma non riesco ad inquadrare una tecnica dimostrativa efficace.
Grazie mille
In realtà credo che si possa dimostrare tutto direttamente con un'intersezione arbitraria di chiusi, senza induzione.
Infatti si ha, per ogni $i \in I$, $\text{Der}(C_i)\subseteq C_i$ dunque $\bigcap_{i\in I} \text{Der}(C_i) \subseteq \bigcap_{i\in I} C_i$. Ma si ha anche $\text{Der} (\bigcap_{i\in I} C_i) \subseteq \bigcap_{i\in I} \text{Der}(C_i)$: infatti se $x\in \text{Der} (\bigcap_{i\in I} C_i)$, allora in ogni intorno di $x$ in $\mathbb{R}$ ci sono punti di $\bigcap_{i\in I} C_i$ distinti da $x$; ma allora in ogni intorno di $x$ in $\mathbb{R}$ ci sono punti di $C_i$ distinti da $x$, per ogni $i\in I$, il che significa che $x\in \text{Der}(C_i)$ per ogni $i\in I$, ovvero $x\in \bigcap_{i\in I} \text{Der}(C_i)$.
Dunque si ha $\text{Der} (\bigcap_{i\in I} C_i) \subseteq \bigcap_{i\in I} C_i$, cioè l'intersezione arbitraria di chiusi è ancora chiusa. Ti torna?
Infatti si ha, per ogni $i \in I$, $\text{Der}(C_i)\subseteq C_i$ dunque $\bigcap_{i\in I} \text{Der}(C_i) \subseteq \bigcap_{i\in I} C_i$. Ma si ha anche $\text{Der} (\bigcap_{i\in I} C_i) \subseteq \bigcap_{i\in I} \text{Der}(C_i)$: infatti se $x\in \text{Der} (\bigcap_{i\in I} C_i)$, allora in ogni intorno di $x$ in $\mathbb{R}$ ci sono punti di $\bigcap_{i\in I} C_i$ distinti da $x$; ma allora in ogni intorno di $x$ in $\mathbb{R}$ ci sono punti di $C_i$ distinti da $x$, per ogni $i\in I$, il che significa che $x\in \text{Der}(C_i)$ per ogni $i\in I$, ovvero $x\in \bigcap_{i\in I} \text{Der}(C_i)$.
Dunque si ha $\text{Der} (\bigcap_{i\in I} C_i) \subseteq \bigcap_{i\in I} C_i$, cioè l'intersezione arbitraria di chiusi è ancora chiusa. Ti torna?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo