Insiemi aperti e chiusi in $RR$e$ZZ$

[andrew.9]

Buonasera raga, postai già una domanda simile a questa. Chiesi se l'insieme $A={x inRR|log_pi ((4^x-2^(x+2)+1)/(3^x-4*3^x+1)+1)>0}$ fosse aperto o chiuso. L'insieme è aperto per in quanto $x in(-∞,log_3 2-1)U(1-1/2log_2 3,log_3 2+1)U(1+1/2log_2 3,+∞)$, se i calcoli sono corretti. Però ho notato solo ora che l'esercizio continua e chiede se l'insieme $B={x inZZ|(4^x-2^(x+2)+1)/(3^x-4*3^x+1)>0}$ è aperto, chiuso, nè aperto nè chiuso. Le soluzione sono le stesse dell'insieme A, ma trovandoci nei numeri relativi non so se l'insieme è ancora aperto, come potrei fare?

[Plepp]

Ciao! Dal momento che ti trovi in $ZZ$ (*), il tuo insieme è costituito da punti isolati, per cui il complementare $RR \setminus B$ è unione di un numero infinito di insiemi aperti (più precisamente, intervalli aperti). Se non ti è chiaro, un disegnino ti togli ogni dubbio
Detto questo, l'unione di un qualsiasi numero di aperti (anche infinito) è ancora un insieme aperto. Quindi, dal momento che il complementare di $B$ è un aperto, allora $B$ è chiuso.

Ciao!
Giuseppe

[OT]
Studi a Bari per caso? Ricordo che l'anno scorso feci anch'io lo stesso esercizio
[/OT]

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*EDIT: considerando anche come è fatto l'insieme $A$...

[andrew.9]

Grazie mille, si studio a Bari

[Plepp]

Figurati! Allora la tua prof. è Sabina Milella? Sbaglio?

[andrew.9]

Esatto