Insiemi aperti e chiusi
Sul Giusti c'è quest'esercizio:
a) In realtà l'insieme considerato è un sottoinsieme dei razionali: si ha $ max(A)=1$ ed l'inf di A è l'elemento 0. L'insieme non ammette minimo. Si tratta secondo me dunque di un insieme chiuso, in quanto, considerato il sup, questo non ammette un intorno contenuto interamente in A. Tuttavia mi chiedo: è giusto parlare di punti di accumulazione in questo caso? Se si prende l'elemento $\frac {1}{2}$ , si può scegliere tranquillamente un intorno avente raggio 1/7 che comprende solo l'elemento $\frac{1}{2}$, per cui non è punto di accumulazione. Lo stesso ragionamento si può applicare a tutti gli altri infiniti elementi dell'insieme che sarebbero nel complesso punti isolati.
Quindi , se per la definizione di insieme chiuso esso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, l'insieme A non ha alcun punto di accumulazione...è dunque chiuso?
b) Un insieme che contiene un solo elemento è chiuso o aperto? Per quanto ne so un insieme vuoto invece dovrebbe essere sia aperto che chiuso.
c) Propenderei per l'aperto. Poichè l'insieme considerato non ha punti di frontiera.
Dire se i seguenti insiemi sono aperti o chiusi (o né aperti né chiusi):
a) $A={x \in RR : x= \frac {1}{n}, n \in NN } $
b)$B= {3}$
c)$C={ x\in RR : ax^3+bx^2+cx+d >0 } a,b,c,d \in RR $
a) In realtà l'insieme considerato è un sottoinsieme dei razionali: si ha $ max(A)=1$ ed l'inf di A è l'elemento 0. L'insieme non ammette minimo. Si tratta secondo me dunque di un insieme chiuso, in quanto, considerato il sup, questo non ammette un intorno contenuto interamente in A. Tuttavia mi chiedo: è giusto parlare di punti di accumulazione in questo caso? Se si prende l'elemento $\frac {1}{2}$ , si può scegliere tranquillamente un intorno avente raggio 1/7 che comprende solo l'elemento $\frac{1}{2}$, per cui non è punto di accumulazione. Lo stesso ragionamento si può applicare a tutti gli altri infiniti elementi dell'insieme che sarebbero nel complesso punti isolati.
Quindi , se per la definizione di insieme chiuso esso contiene tutti i suoi punti di accumulazione, l'insieme A non ha alcun punto di accumulazione...è dunque chiuso?
b) Un insieme che contiene un solo elemento è chiuso o aperto? Per quanto ne so un insieme vuoto invece dovrebbe essere sia aperto che chiuso.
c) Propenderei per l'aperto. Poichè l'insieme considerato non ha punti di frontiera.
Risposte
a) direi che qui hai fatto centro.
come hai detto tu,
in realtà, essendo $A sub QQ$, basta prendere un suo qualsiasi elemento, ad esempio $1/2$, per rendersi conto che non può essere aperto: nessun intorno di $1/2$ sarà tutto contenuto in A.
L'argomento per cui A non avrebbe punti di accumulazione mi sembra valido. Comunque ricordati la definizione di chiuso: un insieme è chiuso se il suo complementare è aperto. Se passi al complementare vedi facilmente che è aperto con la storia degli intorni tutti contenuti in esso, quindi A è chiuso
b) Di nuovo prendi il complementare e tutto si risolve: $B^C = (-\infty,3) \uu (3,+\infty)$ ed è aperto in quanto unione di due aperti. Quindi B è chiuso. Siccome poi $RR$ è connesso, B non può essere sia aperto che chiuso, quindi B è solo chiuso.
c)anche qui hai ragione: infatti l'insieme è unione di intervalli aperti compresi tra le radici del polinomio e gli infiniti, a seconda del segno dei coefficienti. In ogni caso è aperto.
come hai detto tu,
"floriano94":
considerato il sup, questo non ammette un intorno contenuto interamente in A
in realtà, essendo $A sub QQ$, basta prendere un suo qualsiasi elemento, ad esempio $1/2$, per rendersi conto che non può essere aperto: nessun intorno di $1/2$ sarà tutto contenuto in A.
L'argomento per cui A non avrebbe punti di accumulazione mi sembra valido. Comunque ricordati la definizione di chiuso: un insieme è chiuso se il suo complementare è aperto. Se passi al complementare vedi facilmente che è aperto con la storia degli intorni tutti contenuti in esso, quindi A è chiuso
b) Di nuovo prendi il complementare e tutto si risolve: $B^C = (-\infty,3) \uu (3,+\infty)$ ed è aperto in quanto unione di due aperti. Quindi B è chiuso. Siccome poi $RR$ è connesso, B non può essere sia aperto che chiuso, quindi B è solo chiuso.
c)anche qui hai ragione: infatti l'insieme è unione di intervalli aperti compresi tra le radici del polinomio e gli infiniti, a seconda del segno dei coefficienti. In ogni caso è aperto.
Non sono d'accordo sul primo esercizio.
L'insieme dei punti di accumulazione per '' $A$ '' è costituito da '' $0notinA$ ''. Cioè '' $A'={0}$ ''. Non essendo '' $A'$ '' contenuto in '' $A$ '', '' $A$ '' non è chiuso.
Proviamo anche in un altro modo, il complementare. Consideriamo '' ${0}inA^c$ ''. Un intorno di qualsiasi raggio ingloba ( a destra ) anche elementi di '' $A$ ''. quindi '' $A^c$ '' non è aperto. Alla fine viene '' $A$ '' né aperto né chiuso. O almeno questo mi è venuto.
L'insieme dei punti di accumulazione per '' $A$ '' è costituito da '' $0notinA$ ''. Cioè '' $A'={0}$ ''. Non essendo '' $A'$ '' contenuto in '' $A$ '', '' $A$ '' non è chiuso.
Proviamo anche in un altro modo, il complementare. Consideriamo '' ${0}inA^c$ ''. Un intorno di qualsiasi raggio ingloba ( a destra ) anche elementi di '' $A$ ''. quindi '' $A^c$ '' non è aperto. Alla fine viene '' $A$ '' né aperto né chiuso. O almeno questo mi è venuto.
Io anche sospettavo fortemente che l'insieme A fosse né chiuso né aperto. Come mai $ 0 $ è punto di accumulazione per $A$ ? Intuitivamente ci sono, so che è giusto, ma come giustificare questa affermazione ?
Se invece $ 0 $ appartenesse ad A questo sarebbe chiuso a questo punto . (Domanda aggiuntiva del primo esercizio)
Se invece $ 0 $ appartenesse ad A questo sarebbe chiuso a questo punto . (Domanda aggiuntiva del primo esercizio)
\(\displaystyle \forall \epsilon>0 \ \exists n_0 : \forall n>n_0\ \frac{1}{n} < \epsilon\)
questo è un modo per dire che in ogni intorno di 0 ci sono infiniti numeri del tipo \(\displaystyle \frac{1}{n} \)
questo è un modo per dire che in ogni intorno di 0 ci sono infiniti numeri del tipo \(\displaystyle \frac{1}{n} \)
"floriano94":
Se invece $ 0 $ appartenesse ad A questo sarebbe chiuso a questo punto . (Domanda aggiuntiva del primo esercizio)
Esatto.
Tornando all'esercizio: come è già stato scritto, per giustificare basta porre un valore ( '' $epsilon$ '' ); è garantito che ci sarà un '' $n$ '' che renderà un numero '' $1/n
avete dannatamente ragione, mi scuso e torno studiare 
Ok ora mi avete chiarito ogni dubbio, vi ringrazio!
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