Insiemi aperti (dubbi su una proprietà)

[angus89]

Ipotesi
$A \subset S \subset T$
$A$ aperto in $T$

Tesi
$A$ aperto in $S$

Mi chiedevo se questa proprietà che a volte può sembrare intuitiva è vera in generale.
Mi scuso per eventuali sciocchezze che ho scritto e scriverò.
Ho seri dubbi sulal correttezza della seguente dimostrazione (fatta dal sottoscritto).
Ringrazio in anticipo chiunque mi aiuti.

dim
Utilizziamo l'ipotesi
$A$ aperto in $T$

Ovvero
$\forall x_0 \in A$ $\exists r>0$ tale che $B(x_0,r) \subset A$
dove $B(x_0,r) = ( x \in T : |x-x_0|
Definiamo
$B'(x_0,r) = ( x \in S : |x-x_0|
Usiamo ora l'ipotesi $S \subset T$
Abbiamo quindi

$B'(x_0,r) \subset B(x_0,r)$

Infine osserviamo
$B(x_0,r) \subset A$
Quindi
$B'(x_0,r) \subset B(x_0,r) \subset A$
e in definitiva
$B'(x_0,r) \subset A$

che è appunto la tesi

C.V.D.

[amel3]

Sì, va bene (magari specificando che $T$ è uno spazio metrico e che $S != \emptyset $ è un sottospazio metrico di $T$, cioè è dotato della metrica indotta da quella di $T$).

(Tra l'altro la tua osservazione vale nel contesto più generale degli spazi topologici (e quindi anche nel contesto degli spazi metrici, essendo gli spazi metrici essi stessi spazi topologici). Infatti, se $T$ è spazio topologico è $S$ un suo sottospazio topologico, gli aperti di $S$ sono della forma $A \nn S$, con $A$ aperto di $T$. Quindi, in particolare se $A \sube S$ è aperto in $T$, allora $A \nn S = A$ è aperto in $T$.)