Insiemi

[Manuel Sorato]

Dati due insiemi
A={n∈N|∃k∈N tale che n=6k}
B={n∈N|∃k∈N tale che n=8k}

Quali delle seguenti affermazioni è vera?
A∩B={n∈N│∃k∈N tale che n=48k}
A∩B={∅}
A∩B={n∈N│∃k∈N tale che n=24k}
A∩B={numeri pari}
A∩B={0}

Mi potete spiegare il perché (della risposta)? Grazie

[G.D.5]

Il perché di cosa?

[Manuel Sorato]

Attendo ancora la risposta alla prima domanda...

[G.D.5]

Quali sono gli elementi dell'insieme \( A \)?

[Manuel Sorato]

sono tutti i multipli di 6, 0 compreso
A={0,6,12,18,24,30,36,42,48...}

[G.D.5]

Esatto. Quali sono gli elementi dell'insieme \( B \)?

[Manuel Sorato]

sono tutti i multipli di 8, 0 compreso
B=[0,8,16,24,32,40,48...}

E ma poi arriva la parte che non capisco. I numeri che si trovano nell'intersezione A∩B sono tutti quei numeri che sono compresi sia in A che in B allo stesso tempo e allora o sono 0, 24, 48 quindi le risposte a,c,e oppure nessuna di queste. Le risposte b,d le escludo perché 0 è un numero "neutro" e ci sono dei numeri in comune tra i due insiemi e quindi l'insieme non può essere vuoto.

[G.D.5]

E i numeri \(0, 24, 48, \ldots \) chi sono? Siamo in tema di multipli: l'insieme \( A \) contiene i multipli di \( 6 \), l'insieme \( B \) contiene i multipli di \( 8 \), l'insieme \( A \cap B \) contiene allora i multipli di chi? Considera che deve contenere sia elementi di di \( A \) che di \( B \), quindi numeri che siano sia multipli di \( 6 \) che di \( 8 \).

[Manuel Sorato]

A∩B se contiene i multipli sia di 6 che di 8 dovrebbe avere come risposte giuste sia n=48k che n=24k. Entrambi sono divisibili sia per 6 che per 8.

[G.D.5]

Che sia i multipli di \( 24 \) che i multipli di \( 48 \) siano divisibili sia per \( 6 \) che per \( 8 \) è vero. Tuttavia attenzione: \( A \) contiene tutti i multipli di \( 6 \) e \( B \) contiene tutti i multipli di \( 8 \), di conseguenza \( A \cap B \) deve contenere tutti i multipli sia di \( 6 \) che di \( 8 \) ed infatti elencando i primi tre elementi di \( A \cap B \) tu hai scritto che sono \( 0, 24, 48 \). Se io prendo solo i multipli di \( 48 \), quali sono i multipli di \( 48 \)? Ci sono anche tutti multipli di \( 24 \)?

[Manuel Sorato]

I multipli di 48 sono 48,96,144,192,240,288...
I multipli di 24 sono 24,48,72,96,120,144 ...

Quindi tra i multipli di 24 ci sono anche multipli di 48 ma non viceversa.

[G.D.5]

Esatto. Quindi la risposta qual è?

[Manuel Sorato]

n=24k perché n=48k non contiene i multipli 24, 72, 120 ... gli intermedi per così dire che invece sono multipli sia di 6 che di 8. Grazie!

[G.D.5]

Esatto.

Nota a margine: lo \( 0 \) non è "neutro". È a tutti gli effetti un multiplo sia di \( 6 \), che di \( 8 \), che di \( 24 \), che di \( 48 \) e, più in generale, di qualunque numero intero.

[Manuel Sorato]

Posso disturbarti con un altra domanda molto semplice per cui non vale la pena aprire un nuovo post. Si tratta di notazione matematica e non sono sicuro di scrivere correttamente. la condizione x≤7 ∧ (et) x>3 individua l'intervallo (3,7] ? Grazie. Se mi chiarisci questo dubbio ho risolto.

[G.D.5]

Sì.