Insieme vuoto come insieme aperto
Hola! Cerco qualcuno che mi aiuti a capire questa dimostrazione dell'insieme vuoto come insieme aperto:
L'insieme vuoto è aperto perchè non ha punti, quindi per ogni suo punto è possibile costruire una palla aperta, vuota, contenuta nell'insieme vuoto.
Non capisco, se non ha punti, come si fa a dire "per ogni suo punto.."?
Grazie mille in anticipo :/
L'insieme vuoto è aperto perchè non ha punti, quindi per ogni suo punto è possibile costruire una palla aperta, vuota, contenuta nell'insieme vuoto.
Non capisco, se non ha punti, come si fa a dire "per ogni suo punto.."?
Grazie mille in anticipo :/
Risposte
In effetti, personalmente, non mi sembra avere molto senso....
L'insieme vuoto è aperto per definizione: per parlare di sottoinsiemi aperti di un certo insieme lo si dota di una topologia che è una classe di sottoinsiemi detti aperti. Ora tra gli assiomi per la costruzione di una topologia c'è proprio il fatto che l'insieme vuoto appartiene alla topologia. Dunque l'insieme vuoto è aperto per definizione.
L'insieme vuoto è aperto per definizione: per parlare di sottoinsiemi aperti di un certo insieme lo si dota di una topologia che è una classe di sottoinsiemi detti aperti. Ora tra gli assiomi per la costruzione di una topologia c'è proprio il fatto che l'insieme vuoto appartiene alla topologia. Dunque l'insieme vuoto è aperto per definizione.
Eppure è proprio il testo della dimostrazione del mio libro di analisi complessa, nel contesto degli spazi metrici :/
In alternativa propongo la seguente definizione/spiegazione trovata su ****:
"L'insieme vuoto è un insieme sia aperto che chiuso, e per vederlo basta osservare che soddisfa entrambe le definizioni:
1) Un insieme è chiuso se contiene tutti i propri punti di accumulazione. L'insieme vuoto non ha punti di accumulazione, dunque contiene tutti i propri punti di accumulazione.
2) Un insieme è aperto se è intorno di ogni suo punto, cioè se per ogni suo elemento esiste un intorno dell'elemento stesso interamente contenuto nell'insieme. L'insieme vuoto non ha punti, dunque è intorno di ogni suo punto".
Ecco a me la logica sembra la stessa, se anche la definizione è diversa, e quindi continuo a non capire :/
Aiutatemi pleaseee
In alternativa propongo la seguente definizione/spiegazione trovata su ****:
"L'insieme vuoto è un insieme sia aperto che chiuso, e per vederlo basta osservare che soddisfa entrambe le definizioni:
1) Un insieme è chiuso se contiene tutti i propri punti di accumulazione. L'insieme vuoto non ha punti di accumulazione, dunque contiene tutti i propri punti di accumulazione.
2) Un insieme è aperto se è intorno di ogni suo punto, cioè se per ogni suo elemento esiste un intorno dell'elemento stesso interamente contenuto nell'insieme. L'insieme vuoto non ha punti, dunque è intorno di ogni suo punto".
Ecco a me la logica sembra la stessa, se anche la definizione è diversa, e quindi continuo a non capire :/
Aiutatemi pleaseee
Ex falso...
Ma ad ogni modo, l'insieme vuoto è aperto perché è l'unione della famiglia vuota di palle aperte (e negli spazi metrici sono aperti tutti i sottoinsiemi che si ottengono come unione di famiglie di palle aperte).
Se non sei convinto ancora, prova a dimostrare che \(\varnothing\) non è aperto e fammi sapere se ci riesci... Se non ce la fai (come ovvio che sia), \(\varnothing\) è necessariamente aperto.
Ma ad ogni modo, l'insieme vuoto è aperto perché è l'unione della famiglia vuota di palle aperte (e negli spazi metrici sono aperti tutti i sottoinsiemi che si ottengono come unione di famiglie di palle aperte).
Se non sei convinto ancora, prova a dimostrare che \(\varnothing\) non è aperto e fammi sapere se ci riesci... Se non ce la fai (come ovvio che sia), \(\varnothing\) è necessariamente aperto.
Grazie mille, credo di aver capito ora 
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