Insieme ternario di Cantor
Buongiorno. Potreste spiegarmi che cos'è l'insieme ternario di Cantor? Inoltre mi serve la definizione (chiara e limpida) de "la potenza del continuo". Quest'ultima cosa è? E a che cosa serve in pratica? Dalle spiegazioni che ho avuto dai prof non mi è stata posta chiaramente...
Grazie anticipatamente a chi risponderà a tale post!
Grazie anticipatamente a chi risponderà a tale post!
Risposte
Innanzitutto, dire che l'insieme \(X\) ha la potenza del continuo equivale a dire che \(X\) si può mettere in corrispondenza biunivoca coi numeri reali.
L'insieme di Cantor è quello che si ottiene dall'intervallo \([0,1]\) operando il seguente procedimento iterativo.
Dividiamo l'intervallo in tre parti uguali \(I_0=[0,1/3]\), \(I_1=[1/3,2/3]\) ed \(I_2=[2/3,1]\) e scartiamo l'intervallo centrale, ottenendo l'insieme \(C_1:=I_0\cup I_2\); dividiamo \(I_0\) ed \(I_2\) in tre parti uguali ciascuno, \(I_3=[0,1/9]\), \(I_4=[1/9,2/9]\), \(I_5=[2/9,1/3]\), \(I_6=[2/3,7/9]\), \(I_7=[7/9,8/9]\), \(I_8=[8/9,1]\) e scartiamo le parti centrali, ottenendo l'insieme \(C_2=I_3\cup I_5\cup I_6\cup I_8\); dividiamo \(I_3, I_5, I_6 ,I_8\) in tre parti uguali ciascuno e scartiamo gli intervallini centrali, ottenendo \(C_3=I_9 \cup I_{11} \cup I_{12} \cup I_{14} \cup I_{15} \cup I_{17} \cup I_{18} \cup I_{20}\); e così via...
L'insieme di Cantor \(C\) è l'intersezione dei vari \(C_n\) generati in questa maniera.
Da qui vedi che tutti i numeri razionali del tipo \(k/3^n\) (con \(k\) non divisibile per \(3\)) stanno in \(C\); quindi \(C\) è certamente un insieme infinito (poiché è almeno numerabile).
Se lo vuoi vedere da un punto di vista numerico, immagina di rappresentare i numeri dell'intervallo \([0,1]\) in base \(3\): in tal modo ogni numero è rappresentato da una stringa del tipo \(0.c_1c_2c_3\cdots c_n\cdots\) in cui figurano solamente \(0\), \(1\) e \(2\) (ovviamente, come accade in base \(10\), una stringa del tipo \(0.c_1c_2c_3\cdots c_n2\cdots 2\cdots\) viene identificata con la stringa avente come \(n\)-esima cifra ternaria \(c_n+1\)).
La costruzione iterativa riportata sopra equivale ad eliminare dall'intervallo \([0,1]\) tutti i numeri che contengono la cifra \(1\) nella loro rappresentazione ternaria.
Da qui vedi facile che \(C\) ha la potenza del continuo: infatti esso si ottiene da un insieme che ha la potenza del continuo, cioè \([0,1]\), eliminando una famiglia numerabile di elementi.
[N.B.: Questo è lo stesso ragionamento che, ad esempio, porta a concludere che l'insieme degli irrazionali \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) è più che numerabile.]
L'insieme di Cantor è quello che si ottiene dall'intervallo \([0,1]\) operando il seguente procedimento iterativo.
Dividiamo l'intervallo in tre parti uguali \(I_0=[0,1/3]\), \(I_1=[1/3,2/3]\) ed \(I_2=[2/3,1]\) e scartiamo l'intervallo centrale, ottenendo l'insieme \(C_1:=I_0\cup I_2\); dividiamo \(I_0\) ed \(I_2\) in tre parti uguali ciascuno, \(I_3=[0,1/9]\), \(I_4=[1/9,2/9]\), \(I_5=[2/9,1/3]\), \(I_6=[2/3,7/9]\), \(I_7=[7/9,8/9]\), \(I_8=[8/9,1]\) e scartiamo le parti centrali, ottenendo l'insieme \(C_2=I_3\cup I_5\cup I_6\cup I_8\); dividiamo \(I_3, I_5, I_6 ,I_8\) in tre parti uguali ciascuno e scartiamo gli intervallini centrali, ottenendo \(C_3=I_9 \cup I_{11} \cup I_{12} \cup I_{14} \cup I_{15} \cup I_{17} \cup I_{18} \cup I_{20}\); e così via...
L'insieme di Cantor \(C\) è l'intersezione dei vari \(C_n\) generati in questa maniera.
Da qui vedi che tutti i numeri razionali del tipo \(k/3^n\) (con \(k\) non divisibile per \(3\)) stanno in \(C\); quindi \(C\) è certamente un insieme infinito (poiché è almeno numerabile).
Se lo vuoi vedere da un punto di vista numerico, immagina di rappresentare i numeri dell'intervallo \([0,1]\) in base \(3\): in tal modo ogni numero è rappresentato da una stringa del tipo \(0.c_1c_2c_3\cdots c_n\cdots\) in cui figurano solamente \(0\), \(1\) e \(2\) (ovviamente, come accade in base \(10\), una stringa del tipo \(0.c_1c_2c_3\cdots c_n2\cdots 2\cdots\) viene identificata con la stringa avente come \(n\)-esima cifra ternaria \(c_n+1\)).
La costruzione iterativa riportata sopra equivale ad eliminare dall'intervallo \([0,1]\) tutti i numeri che contengono la cifra \(1\) nella loro rappresentazione ternaria.
Da qui vedi facile che \(C\) ha la potenza del continuo: infatti esso si ottiene da un insieme che ha la potenza del continuo, cioè \([0,1]\), eliminando una famiglia numerabile di elementi.
[N.B.: Questo è lo stesso ragionamento che, ad esempio, porta a concludere che l'insieme degli irrazionali \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) è più che numerabile.]
"gugo82":
Se lo vuoi vedere da un punto di vista numerico, immagina di rappresentare i numeri dell'intervallo \([0,1]\) in base \(3\): in tal modo ogni numero è rappresentato da una stringa del tipo \(0.c_1c_2c_3\cdots c_n\cdots\) in cui figurano solamente \(0\), \(1\) e \(2\) (ovviamente, come accade in base \(10\), una stringa del tipo \(0.c_1c_2c_3\cdots c_n2\cdots 2\cdots\) viene identificata con la stringa avente come \(n\)-esima cifra ternaria \(c_n+1\)).
La costruzione iterativa riportata sopra equivale ad eliminare dall'intervallo \([0,1]\) tutti i numeri che contengono la cifra \(1\) nella loro rappresentazione ternaria.
Non ho ben compreso questa parte che mi hai esposto (in particolare quando hai scritto "La costruzione iterativa riportata sopra equivale ad eliminare dall'intervallo [0,1] tutti i numeri che contengono la cifra 1 nella loro rappresentazione ternaria"). Cosa significa quest'ultima?
Se non è un problema, non so, farmi un esempio in merito a quanto ho citato?
Per il resto sei stato chiarissimo, molto limpido nella spiegazione!Mi manca da comprendere solo questa parte per capire a pieno il significato dell'insieme di Cantor.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo