Insieme semplicemente connesso

[Nausicaa912]

non riesco a capire perché l'insieme
$A={(x,y)inRR^2 : y + x^2 !=0}$ è un insieme che non è semplicemente connesso... Un insieme è semplic. connesso quando posso deformare una curva contenuta nell'insieme fino ad un punto con continuità rimanendo nell'insieme. IO mi trovo che lo è... non capisco eprché non possa esserlo!

[itpareid]

e per il punto $(0,0)$ (per esempio)?

[Nausicaa912]

è escluso, ma come faccio a prendere una curva chiusa e contenente quel punto? Io mi trovo che ogni curva, prendendola sopra o sotto della parabola si può ridurre con continuità in unpunto etc. etc... Mi trovo che ad esempio una circonferenza con il centro escluso non è sempl connesso poiché prendendo una curva contenente quel punto, non si può ridurre con continuità, ma qui io riesco a deformarla... Cos'è che sbaglio??

[itpareid]

semplicemente perchè non è connesso per archi (credo)
infatti per essere semplicemente connesso deve essere ANCHE connesso per archi (oltre ad altre ipotesi), cosa che questo insieme non è

[Nausicaa912]

e che significa connesso per archi?

[Zilpha]

connesso per archi o per cammini (lo dice il nome stesso), significa che, comunque prendi due punti dello spazio topologico X, esiste una curva continua di estremi questi due punti tutta contenuta in X.

[Nausicaa912]

Ma forse non è semplicemente connesso perché non è neanche connesso adesso che ci penso... mmmh o sbaglio? XD

[Zilpha]

....e quali tesi porti a tua favore?

[Zilpha]

"Zilpha":....e quali tesi porti a tua favore?

in ogni caso non vorrei farti andare fuori strada, ho fatto questa domanda solo per farti arrivare fino in fondo nel tuo ragionamento. Comunque anche quello di itpareid è un ottimo suggerimento che, in alcuni casi può risultare anche più immediato... buono studio!

[itpareid]

"Nausicaa91":Ma forse non è semplicemente connesso perché non è neanche connesso adesso che ci penso... mmmh o sbaglio? XD

effettivamente tramite la definizione puoi verificare se è sconnesso o meno...

[Nausicaa912]

"Zilpha":[quote="Zilpha"]....e quali tesi porti a tua favore?

in ogni caso non vorrei farti andare fuori strada, ho fatto questa domanda solo per farti arrivare fino in fondo nel tuo ragionamento. Comunque anche quello di itpareid è un ottimo suggerimento che, in alcuni casi può risultare anche più immediato... buono studio![/quote]

Grazie! (:
Mh perché presi due punti appartenenti all'insieme non riesco a costruire sempre una poligonale di tali estremi contenuta in $B$. Ad esempio, quando prendo un punto sopra la parabola e un punto sotto di essa... Giusto?
Comunque grazie!

[Zilpha]

ok questo dimostra che il tuo insieme non è semplicemente connesso, che è quello che ti serviva... se invece vuoi far vedere che non è nemmeno connesso (come avevi intuito ) puoi usare la definizione di sconnessione (come ti è stato suggerito da itpareid) individuando due aperti non banali disgiunti, la cui unione ti dà il tuo insieme.
E' molto facile trovarli, da come è definito l'insieme....

[Nausicaa912]

ah sì... quelli definiti da x che varia in R e yx^2, giusto?

ma quindi quella della poligonale è solo una caratterizzazione? Perché a me il prof ha dato la def che hai dato tu, ma ha sempre fatto esempio tramite poligonale per farci vedere se un insieme era o non era connesso!

[Zilpha]

"Nausicaa91":ah sì... quelli definiti da x che varia in R e yx^2, giusto?

si giusto!

ma quindi quella della poligonale è solo una caratterizzazione? Perché a me il prof ha dato la def che hai dato tu, ma ha sempre fatto esempio tramite poligonale per farci vedere se un insieme era o non era connesso

uhm... allora io so che connesso per poligonali $=>$ connesso, ma in generale il viceversa non è vero... per esempio in $RR^2$ una circonferenza è connessa ma non è connessa per poligonali... Sei sicura che gli esempi del tuo prof riguardassero la connessione e non altre proprietà?