Insieme semplicemente connesso

[CLaudio Nine]

Ciao a tutti,

Volevo chiedere se qualcuno è in grado di fornire delucidazioni in merito alla definizione di insieme semplicemente connesso con uso della nozione di omotopia.
Io so che un insieme è semplicemente connesso se presa una qualsiasi curva chiusa all'interno del mio insieme, essa non è altro che la frontiera di un sottoinsieme del mio insieme.

Tuttavia, mettiamo caso che io prenda un insieme $A$ semplicemente connesso e fatto in questo modo: privo di buchi ma "stracolmo" di curve chiuse.
Come potrei, presi due punti $P1$ e $P2$ e due curve generiche che li congiungono, deformare con continuità una curva nell'altra?
Le curve chiuse darebbero "fastidio" e non permetterebbero che questa "trasformazione" possa avvenire con continuità.
Eppure l'insieme $A$ sopra descritto è semplicemente connesso.
Qualcuno sa aiutarmi?

[dissonance]

Che significa "stracolmo di curve chiuse"?

Io so che un insieme è semplicemente connesso se presa una qualsiasi curva chiusa all'interno del mio insieme, essa non è altro che la frontiera di un sottoinsieme del mio insieme.

Non è proprio questa la definizione, ma è una buona immagine visiva. La definizione è quella con le omotopie.

[CLaudio Nine]

"dissonance":Che significa "stracolmo di curve chiuse"?

Io so che un insieme è semplicemente connesso se presa una qualsiasi curva chiusa all'interno del mio insieme, essa non è altro che la frontiera di un sottoinsieme del mio insieme.

Non è proprio questa la definizione, ma è una buona immagine visiva. La definizione è quella con le omotopie.

Immaginiamo che il mio insieme $A$ abbia al suo interno un'unica curva chiusa che coincide con la frontiera di un sottoinsieme di $A$.
Io so che $A$ è semplicemente connesso per questo motivo.

Tuttavia, esistono sicuramente due punti arbitrari $a_1$ ed $a_2$ tali che, comunque prese due curve $\gamma_1$ e $\gamma_2$ differenti che li congiungono, esse non sono omotope.
Questo perché, a livello intuitivo, non potrò deformare con continuità una curva nell'altra, in quanto ci sarà la curva chiusa $\gamma_0$ a far sì che la deformazione non possa avvenire con continuità.

In parole povere, mi sembra che la definizione 1 e 2 siano in contraddizione:
definizione 1:"se presa una qualsiasi curva chiusa all'interno del mio insieme, essa non è altro che la frontiera di un sottoinsieme del mio insieme";

definizione 2 "comunque presi due punti e comunque prese due curve che li congiungono, allora posso deformare con continuità una curva nell'altra".

[dissonance]

No, no, tutto sbagliato. Questa definizione ti sta facendo confondere. La definizione di insieme semplicemente connesso è quella con le omotopie, assumi quella e lascia stare queste elucubrazioni, non c'è niente di salvabile nel tuo ultimo post.

[CLaudio Nine]

"dissonance":non c'è niente di salvabile nel tuo ultimo post.

Sono d'accordo, sono fuori strada.
Tuttavia non capisco (curiosità) come mai entrambe le definizioni sono corrette (lo sono?), eppure sembrano contraddirsi a vicenda sotto opportune ipotesi.

[otta96]

"CLaudio Nine":come mai entrambe le definizioni sono corrette (lo sono?)

No, la prima è una definizione che non ha senso per insieme semplicemente connesso, in quanto [size=50]quasi[/size] tutte le curve sono frontiere di un insieme, ovvero di se stesse, in quanto insiemi chiusi con parte interna non vuota.

[CLaudio Nine]

"otta96":[quote="CLaudio Nine"]come mai entrambe le definizioni sono corrette (lo sono?)

No, la prima è una definizione che non ha senso per insieme semplicemente connesso, in quanto [size=50]quasi[/size] tutte le curve sono frontiere di un insieme, ovvero di se stesse, in quanto insiemi chiusi con parte interna non vuota.[/quote]

E' la definizione del mio libro di testo...Tuttavia penso di essere fuori strada perché la definizione con le omotopie scritta in maniera rigorosa non è affatto semplice.

[dissonance]

Ma questa cosa di "stracolmo di curve chiuse" non significa niente. Non ragionare su queste categorie bislacche, ragiona rigorosamente. Disegna un insieme "senza buchi", disegna una curva chiusa al suo interno e rifletti su come tu possa deformarla continuamente fino a ridurla ad un punto.

Su queste cose spesso si "tira via" un po', perché scrivere formule può essere difficile, ma non significa che non siano concetti rigorosi.

[CLaudio Nine]

"dissonance":
Su queste cose spesso si "tira via" un po', perché scrivere formule può essere difficile, ma non significa che non siano concetti rigorosi.

Ok ottimo.
Ma se prendo ad esempio una curva chiusa $\gamma_alpha$ contenuta in $A$, che coincide con la frontiera di un sottoinsieme di $A$ e che al suo interno contiene un'altra curva chiusa $\gamma_beta$?
Come potrò deformare con continuità $\gamma_alpha$ fino a ridurla ad un punto?
La curva chiusa $\gamma_beta$ contenuta nel sottoinsieme delimitato da $\gamma_alpha$ non impedirà che questa deformazione possa avvenire con continuità?

[dissonance]

Ma certo che no. Se questa curva chiusa è contenuta nell'insieme, dove sta il problema?

[CLaudio Nine]

"dissonance":Ma certo che no. Se questa curva chiusa è contenuta nell'insieme, dove sta il problema?

Durante la deformazione di $\gamma_alpha$ viene dunque deformata anche $\gamma_beta$ ?
Scusami per i soliloqui, ma purtroppo nella mia facoltà abbiamo analisi 1 ed analisi 2 da 6 crediti ciascuno.
Tuttavia il nostro professore richiede una comprensione (giustamente) profonda anche di quei concetti che noi abbiamo solamente accennato senza le opportune definizioni rigorose (per mancanza di tempo).

[gabriella127]

ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.
Le curve sono delle applicazioni, mica dei fili di spago o dei muretti di gomma. E' come se disegnassi su uno stesso grafico, che so, una parabola e il logaritmo e dici che si impicciano tra di loro.
Non è che $ gamma _b $ che sta dentro $ gamma _a $ si contrae pure quella, è come se non ci fosse, se vogliamo usare il tuo linguaggio fantasioso, $ gamma _a $ 'ci passa sopra'.
(astieniti da queste considerazioni all'esame )

[dissonance]

"gabriella127":ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.
Le curve sono delle applicazioni, mica dei fili di spago o dei muretti di gomma. E' come se disegnassi su uno stesso grafico, che so, una parabola e il logaritmo e dici che si impicciano tra di loro.

Esatto, è proprio così. Queste cose succedono quando si ragiona in modo troppo informale.

@Claudio: quello che ti serve è un po' di formalismo, per toglierti dalla teste queste idee strampalate. Dimostriamo direttamente che \(D=\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ x^2+y^2<1\}\) è semplicemente connesso, nel senso che ogni curva chiusa \(\phi\colon [0, 1]\to D\) è omotopa a un punto\(^{[1]}\).

Infatti, sia \(H\colon [0,1]\times D\to D\) la mappa \(H(s,x):=sx\). Verifica per favore che:
1) \(H(1, \phi(t))=\phi(t),\ \forall t\in[0,1].\)

2) \(H(0, \phi(t))=0.\)

3) \(H\) è continua.

Sono cose totalmente ovvie e facilissime. Fatto ciò, avrai concluso la dimostrazione della semplice connessione di \(D\). CONCLUSIONE: Dimentica la definizione data dal prof. Questa è quella ufficiale. Il prof ha voluto risparmiare tempo, evitando di introdurre il concetto di "omotopia", ma nel tuo caso questo risparmio di tempo ti si è ritorto contro.

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\([1]\). Per definizione, \(\phi\) è omotopa a un punto se esiste una applicazione continua \(H\colon [0, 1]\times D\to D\) tale che \(H(1, \phi(t))=\phi(t)\) e \(H(0, \phi(t))=p\), dove \(p\in D\) è un punto fissato.

[CLaudio Nine]

"dissonance":ClaudioNine, l'idea delle curve che si impicciano tra di loro è carina, ma bizzarra.


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\([1]\). Per definizione, \(\phi\) è omotopa a un punto se esiste una applicazione continua \(H\colon [0, 1]\times D\to D\) tale che \(H(1, \phi(t))=\phi(t)\) e \(H(0, \phi(t))=p\), dove \(p\in D\) è un punto fissato.

Siete riusciti a farmi comprendere il concetto, togliendomi dalla testa una marea di sciocchezze!
Grazie Gabriella e grazie mille dissonance!

[gabriella127]

Figurati ClaudioNine, capita di andare fuori strada quando uno cerca, giustamente, di farsi un' idea intuitiva.