Insieme semplicemente connesso

[zio_mangrovia]

L’insieme ottenuto togliendo dal piano la bisettrice del primo quadrante $( x > 0 , y > 0 )$ dice sia semplicemente connesso, ma non riesco a comprenderlo.
Parlando in termini molto spiccioli considero il cappio infinito che abbraccia tutto il sistema di assi cartesiani e lo restringo pian piano fino ad arrivare all'origine e ma mi accorgo che vado a stringere anche il segmento di lunghezza infinita che parte dall'origine nel primo quadrante, pertanto visto l' ostacolo mi verrebbe da dire che non sia semplicemente connesso.
Ma forse una semiretta non incide in questo contesto? Se fosse stata una curva chiusa sarebbe stata diversa.
grazie

[gugo82]

Perché stai considerando una curva non chiusa del piano?
Insomma, che cos'è questa "cappio infinito"?

[Ernesto011]

Puoi anche vederla così: L'insieme è stellato rispetto all'origine.
Stellato $=>$ semplicemente connesso.

[zio_mangrovia]

"gugo82":Perché stai considerando una curva non chiusa del piano?
Insomma, che cos'è questa "cappio infinito"?

Vedi la risposta su questo thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=139197

[gugo82]

"zio_mangrovia":[quote="gugo82"]Perché stai considerando una curva non chiusa del piano?
Insomma, che cos'è questa "cappio infinito"?

Vedi la risposta su questo thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=139197[/quote]
Ho visto, ma non c'è nessun riferimento al fatto che per controllare la semplice connessione nel piano si possano considerare curve non limitate e non chiuse...

[zio_mangrovia]

Mi viene difficile comprendere il concetto si semplicemente connesso senza un esempio pratico

[killing_buddha]

"gugo82":[quote="zio_mangrovia"][quote="gugo82"]Perché stai considerando una curva non chiusa del piano?
Insomma, che cos'è questa "cappio infinito"?

Vedi la risposta su questo thread
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=139197[/quote]
Ho visto, ma non c'è nessun riferimento al fatto che per controllare la semplice connessione nel piano si possano considerare curve non limitate e non chiuse...[/quote]
Anche perché non ce ne sono: l'immagine continua di $S^1$ deve essere contenuta in un compatto.

Autore del post, più che di esempi tu hai bisogno di motivazioni sulla utilità di sapere che uno spazio è semplicemente connesso. Ci sono diverse ragioni per cui ti interessa saperlo, una delle quali è che il gruppo fondamentale del dominio di una equazione differenziale agisce sullinsieme delle sue soluzioni. Quando l'equazione è lineare, l'insieme delle soluzioni è uno spazio affine, ed ecco un fantastico esempio, a cui sei costretto, di rappresentazione di un gruppo.

[zio_mangrovia]

Anche perché non ce ne sono: l'immagine continua di $S^1$ deve essere contenuta in un compatto.

Autore del post, più che di esempi tu hai bisogno di motivazioni sulla utilità di sapere che uno spazio è semplicemente connesso. Ci sono diverse ragioni per cui ti interessa saperlo, una delle quali è che il gruppo fondamentale del dominio di una equazione differenziale agisce sullinsieme delle sue soluzioni. Quando l'equazione è lineare, l'insieme delle soluzioni è uno spazio affine, ed ecco un fantastico esempio, a cui sei costretto, di rappresentazione di un gruppo.

Sinceramente sono in difficoltà ad interpretare queste parole.

[killing_buddha]

Se $\omega$ è una equazione differenziale a coefficienti costanti su un dominio $U$, $\pi_1(U)$ agisce sullo spazio (affine) delle sue soluzioni. Si chiama "monodromia".