Insieme semplicemente connesso

[enrico.bellemo]

Ciao! Ho un dubbio sul come determinare se un insieme è o meno semplicemente connesso.

Dalla teoria so che: "A si dice semplicemente connesso se ogni curva $vargamma$ continua chiusa è omotopa a una curva costante (cioè omotopa a un punto)."

Vengono anche forniti gli esempi:

(a) $A = {(x,y)inR^2 : 1 sarebbe una specie di ciambella vista dall'alto, NON è semplicemente connesso.

(b) $B = {(x,y,z)inR^3 : 1 sfera cava(?), è semplicemente connesso

(c) $C = {(x,y,z)inR^3 : 1 cilindro cavo(?), NON è semplicemente connesso

Ora, in che modo l'insieme B è semplicemente connesso? Come faccio a ridurre tale sfera ad un punto, se c'è una cavità sferica all'interno?

Grazie!

[Fioravante Patrone1]

La fai scorrere verso l'alto in modo da rimanere tra le due sfere concentriche e man mano rimpicciolisci la parte che sta sopra all'equatore, mentre magari dovrai stiracchiare la parte che sta sotto.
Poi, superato il "polo nord" della sfera piccola, la puoi strizzare ad un punto.

NB: ci ho messo ben poca fantasia, è un esercizio standard

[enrico.bellemo]

Ci vorrà un po' di immaginazione... Magari ci fosse una gif! Grazie mille comunque

[Fioravante Patrone1]

Prova a prendere al lazo una sfera...

Tanto quella fuori puoi pensare che sia davvero enorme, lo puoi fare perché la minima distanza tra la tua curva chiusa e la superficie sferica esterna è sicuramente positiva (Weierstrass) e quindi puoi fare una omotopia che sbatacchi lontano quanto vuoi la superficie sferica esterna. Ah, la stessa argomentazione ti consente di ridurre a un punto la sfera interna.

[enrico.bellemo]

Ma io pensavo che la sfera interna fosse... il vuoto; cioè, come dire... Che ci fosse una cavità (un vuoto quindi) a forma di sfera? E come riduco il vuoto ad un punto?
Grazie per la pazienza comunque