Insieme semplicemente connesso?

[maryenn1]

Un insieme illimitato può essere semplicemente connesso?Potreste darmi una definizione chiara di insieme semplicemente connesso?

[gio73]

guarda se questa discussione viewtopic.php?f=36&t=96310&hilit=+semplicemente+connesso#p640910 può esserti d'aiuto

[Zero87]

Un insieme $A\subseteq \RR^2$ semplicemente connesso è un insieme:
- connesso;
- tale che la regione racchiusa da ogni curva chiusa $\gamma$ in $A$ è contenuta in $A$.

[Epimenide93]

"maryenn":Un insieme illimitato può essere semplicemente connesso?

Certo! Tanto per fare un esempio, per ogni \(n \in \mathbb{N}, \ n \geq 1\), hai che \(\mathbb{R}^n\) è semplicemente connesso[nota]se conveniamo di considerare \(\mathbb{R}^0\) come un insieme composto da un solo punto, allora possiamo risparmiarci la postilla \(n \geq 1\).[/nota].

"maryenn":Potreste darmi una definizione chiara di insieme semplicemente connesso?

Se lavori solo in sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\) quella proposta da Zero87 direi che è perfetta quanto a "chiarezza" in tutti i sensi, altrimenti dipende da cosa intendi per "chiara". L'idea intuitiva che viene proposta di solito è che uno spazio semplicemente connesso è uno "spazio senza buchi" o uno "spazio in cui è sempre possibile restringere con continuità una curva chiusa in un punto", ma non è una definizione ed è un concetto tutt'altro che rigoroso, però aiuta a farsi un'idea. \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) ed il toro bidimensionale \(\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2\) sono due esempi di spazi connessi ma non semplicemente connessi.

Non credo esista una definizione abbastanza generale della semplice connessione che non passi per il concetto di omotopia. La definizione più semplice che si può dare è forse:

Uno spazio topologico \((X, \tau)\) si dice semplicemente connesso se esso è connesso per archi ed ogni cappio è nullomotopo (entro lo spazio).

Dove per cappio (talvolta detto anche circuito, nella letteratura inglese loop) si intende un cammino con gli estremi coincidenti.

Una definizione equivalente (più sofisticata, ma più immediata):

Uno spazio topologico \((X, \tau)\) si dice semplicemente connesso se ha gruppo fondamentale banale.

[maryenn1]

Grazie a tutti