Insieme semplicemente connesso
Salve a tutti,
mi sapreste dare una definizione di insieme semplicemente connesso?
mi sapreste dare una definizione di insieme semplicemente connesso?
Risposte
Sul mio libro ho trovato la definizione di aperto semplicemente connesso legata a quella di curva omotopa ad estremi fissi.
Def. Siano A un aperto connesso e $(gamma_1,phi_1)$,$(gamma_2,phi_2)$ due curve generalmente regolari aventi sostegno in A, di parametrizzazioni $phi_1:[a,b] rarr RR^n$ e $phi_2:[a,b] rarr RR^n$ rispettivamente, tali che $phi_1(a)=phi_2(a)$ e $phi_1(b)=phi_2(b)$. Le due curve si dicono Omotope ad estremi fissi se esiste una funzione $F:[a,b]x[0,1] rarr A$ continua e tale che
${(F(t,0)=phi_1(t) AAt in [a,b]),(F(t,1)=phi_2(t) AAt in [a,b]),(F(a,lambda)=phi_1(a) AA lambda in [0,1]),(F(b,lambda)=phi_1(b) AA lambda in [0,1]):}$
Def. Siano A un aperto connesso di $RR^n$ e x,y due punti distinti di A. L'aperto si dice semplicemente connesso se tutte le curve della classe $Phi(x,y)$ risultano omotope.
Ciò che non capisco è la definizione di curva omotopa ad estremi fissi.
Def. Siano A un aperto connesso e $(gamma_1,phi_1)$,$(gamma_2,phi_2)$ due curve generalmente regolari aventi sostegno in A, di parametrizzazioni $phi_1:[a,b] rarr RR^n$ e $phi_2:[a,b] rarr RR^n$ rispettivamente, tali che $phi_1(a)=phi_2(a)$ e $phi_1(b)=phi_2(b)$. Le due curve si dicono Omotope ad estremi fissi se esiste una funzione $F:[a,b]x[0,1] rarr A$ continua e tale che
${(F(t,0)=phi_1(t) AAt in [a,b]),(F(t,1)=phi_2(t) AAt in [a,b]),(F(a,lambda)=phi_1(a) AA lambda in [0,1]),(F(b,lambda)=phi_1(b) AA lambda in [0,1]):}$
Def. Siano A un aperto connesso di $RR^n$ e x,y due punti distinti di A. L'aperto si dice semplicemente connesso se tutte le curve della classe $Phi(x,y)$ risultano omotope.
Ciò che non capisco è la definizione di curva omotopa ad estremi fissi.
Io ho a disposizione una definizione più terra-terra e forse non fa al caso tuo...
Un insieme è semplicemente connesso se una qualsiasi curva semplice chiusa, appartenente all'insieme, può essere ristretta fino a farla diventare un punto senza che essa debba uscire dall'insieme. In soldoni se all'interno dell'insieme c'è un buco (immaginiamo una corona circolare), esso è connesso per archi, ma non è semplicemente connesso perchè una circonferenza intermedia alle due che delimitano la corona non può restringersi a un punto senza uscire dalla corona.
Un insieme è semplicemente connesso se una qualsiasi curva semplice chiusa, appartenente all'insieme, può essere ristretta fino a farla diventare un punto senza che essa debba uscire dall'insieme. In soldoni se all'interno dell'insieme c'è un buco (immaginiamo una corona circolare), esso è connesso per archi, ma non è semplicemente connesso perchè una circonferenza intermedia alle due che delimitano la corona non può restringersi a un punto senza uscire dalla corona.
Così è più chiaro. Almeno in questo modo posso capire "ad occhio" se alcuni insiemi particolari sono semplicemente connessi. Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo