Insieme R aperto e chiuso

[mr mojo]

in che senso gli insiemi $\R$ e $\emptyset$ sono sia degli aperti che dei chiusi? perchè in alcuni testi si definisce anche la chiusura di $\R$ (con $\pm\infty$ compresi) e quindi non capisco come appunto $\R$ possa essere sia un chiuso che un aperto, potendo definirne la sua chiusura non dovrebbe essere un aperto e basta? Mi basta la spiegazione per $R$ perche tanto $\emptyset$ è il suo complementare

[dan952]

Partiamo da $O/$, questo è aperto perché coincide con l'insieme dei punti interni (cioè $O/$) è chiuso perché contiene la sua frontiera (sempre $O/$).
Passiamo ad $RR$ (spazio topologico):
- È aperto perché posso sempre trovare una balla aperta (intervallo aperto) di raggio arbitrario tutta contenuta in $RR$, o equivalentemente contiene tutti gli intorni di ogni suo punto.
- È chiuso perché complementare di $\nilset$ se lo consideriamo come spazio topologico.

[apatriarca]

\(\pm \infty\) non fanno parte di \(\mathbb R\).. Di fatto si tratta praticamente di una definizione comunque, in qualsiasi topologia l'insieme vuoto e l'insieme su cui definisci la topologia devono essere aperti (e quindi chiusi). La topologia di \( \mathbb R \cup \{ \pm \infty \}\) è una topologia diversa da quella di \(\mathbb R\).

[mr mojo]

che $\pm\infty$ non facciano parte di $\mathbb{R}$ e che una topologia la definisco su aperti ok, però ciò che non mi è chiaro è come sia definita la chiusura di $\mathbb{R}$.
la chiusura e la parte interna di $\mathbb{R}$ sono $\mathbb{R}$ stesso?

[dan952]

La chiusura di $RR$ dovrebbe essere $RR$...

[apatriarca]

Certo, la chiusura di \(\mathbb R\) è\(\mathbb R\).