Insieme - pt. di accumulazione, sup, inf
Ho il seguente insieme:
$E = {(mn)/(m^2 + n^2) + 1/m + 1/n : m, n in NN setminus {0} }$
e mi si chiede di determinare l'estremo superiore, quello inferiore e il derivato di $E$.
Non so neanche come cominciare. Come posso farmi un'idea di che razza di insieme è? Il problema sono i due parametri. La cosa più ragionevole mi sembra fissarne uno e fare variare l'altro, ma in che modo?
Grazie.
$E = {(mn)/(m^2 + n^2) + 1/m + 1/n : m, n in NN setminus {0} }$
e mi si chiede di determinare l'estremo superiore, quello inferiore e il derivato di $E$.
Non so neanche come cominciare. Come posso farmi un'idea di che razza di insieme è? Il problema sono i due parametri. La cosa più ragionevole mi sembra fissarne uno e fare variare l'altro, ma in che modo?
Grazie.
Risposte
Guarda, probabilmente dico una cavolata, ma fossi in te proverei a considerare la tua $f(m,n)$ come una funzione di due variabili $(x,y)$ e la studierei come tale, $f:RR^2 -> RR$. Da qui potremmo ricavare informazioni utili sugli estremi.
Inoltre, essendo $m,n in NN$, il derivato si dovrebbe restringersi alle singolarità ed all'$oo$... in quanto unici punti di accumulazione ( così ad occhio ).
Inoltre, essendo $m,n in NN$, il derivato si dovrebbe restringersi alle singolarità ed all'$oo$... in quanto unici punti di accumulazione ( così ad occhio ).
Io metto sul tavolo anche una disuguaglianza:
$2mn \le m^2+ n^2$
(è chiaro come si dimostra? essenzialmente stiamo dicendo che $(m-n)^2 \ge 0$.)
$2mn \le m^2+ n^2$
(è chiaro come si dimostra? essenzialmente stiamo dicendo che $(m-n)^2 \ge 0$.)
"pater46":
Guarda, probabilmente dico una cavolata, ma fossi in te proverei a considerare la tua $f(m,n)$ come una funzione di due variabili $(x,y)$ e la studierei come tale, $f:RR^2 -> RR$. Da qui potremmo ricavare informazioni utili sugli estremi.
Inoltre, essendo $m,n in NN$, il derivato si dovrebbe restringersi alle singolarità ed all'$oo$... in quanto unici punti di accumulazione ( così ad occhio ).
Il problema è che l'esercizio è tratto da un tema di esame di Analisi 1. Bisognerebbe risolverlo senza studiare una funzione di due variabili.
Grazie dello spunto.
Quindi:
$2mn <= m^2 + n^2$
$(mn)/(m^2 + n^2) <= 1/2$
$(mn)/(m^2 + n^2) + 1/n + 1/m <= 1/2 + 2 = 5/2$
Inoltre $0 < (mn)/(m^2 + n^2) + 1/n + 1/m$
Perciò l'insieme è limitato.
Ora come procedo? Fisso un intorno generico del punto $5/2$ e cerco di capire se è il superiore?
Quindi:
$2mn <= m^2 + n^2$
$(mn)/(m^2 + n^2) <= 1/2$
$(mn)/(m^2 + n^2) + 1/n + 1/m <= 1/2 + 2 = 5/2$
Inoltre $0 < (mn)/(m^2 + n^2) + 1/n + 1/m$
Perciò l'insieme è limitato.
Ora come procedo? Fisso un intorno generico del punto $5/2$ e cerco di capire se è il superiore?
Il valore $5/2$ in realtà si ottiene per dei valori precisi per $n$ ed $m$, quindi...
"Rigel":
Il valore $5/2$ in realtà si ottiene per dei valori precisi per $n$ ed $m$, quindi...
Non capisco, scusami. Avevo notato che gli addendi $1/n$ e $1/m$ sono $<= 1$ , $AA n, m in NN$...
E' vero che $1/n \le 1$ per ogni $n\ge 1$, ma è anche $=1$ per un particolare valore di $n$.
Riguardo la disuguaglianza
$\frac{nm}{n^2+m^2}\le \frac{1}{2}$
vedi subito che ottieni l'uguaglianza per $n=m$.
Basta dunque scegliere $n=m=1$ per ottenere la fatidica soglia di $5/2$.
Riguardo la disuguaglianza
$\frac{nm}{n^2+m^2}\le \frac{1}{2}$
vedi subito che ottieni l'uguaglianza per $n=m$.
Basta dunque scegliere $n=m=1$ per ottenere la fatidica soglia di $5/2$.
"Rigel":
E' vero che $1/n \le 1$ per ogni $n\ge 1$, ma è anche $=1$ per un particolare valore di $n$.
Riguardo la disuguaglianza
$\frac{nm}{n^2+m^2}\le \frac{1}{2}$
vedi subito che ottieni l'uguaglianza per $n=m$.
Basta dunque scegliere $n=m=1$ per ottenere la fatidica soglia di $5/2$.
D'accordo. Questo vorrebbe dire che $5/2$ è il massimo dell'insieme, giusto?
E per l'estremo inferiore?
Ok per il massimo.
Per l'inf prova a ragionarci un po'; ti dò qualche suggerimento.
Hai la somma di tre termini strettamente positivi (che quindi sarà anch'essa strettamente positiva). Di questi:
1) i termini $1/n$ e $1/m$ possono essere resi piccoli a piacere, prendendo $m$ ed $n$ grandi;
2) il termine $\frac{nm}{n^2+m^2}$ può anch'esso essere reso piccolo a piacere, purché uno dei due numeri (diciamo $m$) sia "più grande" di $n$; in altri termini, puoi pensare di scegliere $m = m(n)$ in modo che $\frac{m(n)}{n} \to + \infty$ quando $n\to +\infty$.
Per l'inf prova a ragionarci un po'; ti dò qualche suggerimento.
Hai la somma di tre termini strettamente positivi (che quindi sarà anch'essa strettamente positiva). Di questi:
1) i termini $1/n$ e $1/m$ possono essere resi piccoli a piacere, prendendo $m$ ed $n$ grandi;
2) il termine $\frac{nm}{n^2+m^2}$ può anch'esso essere reso piccolo a piacere, purché uno dei due numeri (diciamo $m$) sia "più grande" di $n$; in altri termini, puoi pensare di scegliere $m = m(n)$ in modo che $\frac{m(n)}{n} \to + \infty$ quando $n\to +\infty$.
Grazie.
$lim_(n) \frac{n * m(n)}{n^2+(m(n))^2}$
$lim_(n) 1/[m(n)]^2 \frac{n * m(n)}{[n/(m(n))]^2 + 1}$
$lim_(n) n/[m(n)] \frac{1}{[n/(m(n))]^2 + 1} = 0$
Perché $n/(m(n)) -> 0$.
Perché posso fare questa scelta, cioè far dipendere un parametro dall'altro? Ci sarebbero problemi se $m, n$ non fossero interscambiabili (per esempio se fosse stato $\frac{n * m}{n^2 + m}$ ) ? E' un po' quello che si fa per calcolare i limiti delle funzioni di due variabili?
Quindi scopro che $0$ è l'estremo inferiore. Però mi sembra un po' ridicolo dire che per $n$ grandi ed $m$ "ancora più grandi", i punti dell'insieme si accumulano vicino a $0$ (che ho il sospetto essere l'unico punto di accumulazione di $E$, anche se non so come dimostrarlo).
Scusa per averti inondato di domande.
$lim_(n) \frac{n * m(n)}{n^2+(m(n))^2}$
$lim_(n) 1/[m(n)]^2 \frac{n * m(n)}{[n/(m(n))]^2 + 1}$
$lim_(n) n/[m(n)] \frac{1}{[n/(m(n))]^2 + 1} = 0$
Perché $n/(m(n)) -> 0$.
Perché posso fare questa scelta, cioè far dipendere un parametro dall'altro? Ci sarebbero problemi se $m, n$ non fossero interscambiabili (per esempio se fosse stato $\frac{n * m}{n^2 + m}$ ) ? E' un po' quello che si fa per calcolare i limiti delle funzioni di due variabili?
Quindi scopro che $0$ è l'estremo inferiore. Però mi sembra un po' ridicolo dire che per $n$ grandi ed $m$ "ancora più grandi", i punti dell'insieme si accumulano vicino a $0$ (che ho il sospetto essere l'unico punto di accumulazione di $E$, anche se non so come dimostrarlo).
Scusa per averti inondato di domande.
"Seneca":
Però mi sembra un po' ridicolo dire che per $n$ grandi ed $m$ "ancora più grandi", i punti dell'insieme si accumulano vicino a $0$ (che ho il sospetto essere l'unico punto di accumulazione di $E$, anche se non so come dimostrarlo).
Infatti il mio era solo un suggerimento qualitativo, per farti capire come funziona la cosa.
Una volta capito, fai una scelta effettiva, ad esempio $m(n) = n^2$; a questo punto osservi che, con $m = n^2$ ottieni
$\frac{n\cdot n^2}{n^2+n^4} + \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \to 0$ per $n\to +\infty$.
Di conseguenza l'estremo inferiore dell'insieme è $0$ e non è mai raggiunto (quindi non è un minimo).
Vedi subito che $0$ è un punto di accumulazione, ma non è l'unico; infatti tutti i punti del tipo $\frac{1}{n}$ sono di accumulazione (questo lo vedi tenendo $n$ fissato e mandando $m$ a infinito).
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