Insieme non misurabile secondo Peano

[KatieP]

Qualcuno può spiegarmi perché l'insieme [0,1] intersecato con Q non è misurabile? La prof ha parlato di densità di Q in R ma non mi è chiaro.

[gugo82]

Nota che il più piccolo (pluri-)intervallo contenente \(E:=\mathbb{Q}\cap [0,1]\) è proprio \([0,1]\), dunque la misura esterna di \(E\) è \(\mu_e(E)=\mu([0,1])=1\); d'altra parte, non esistono (pluri-)intervalli completamente contenuti in \(E\) (perché \(E\) non ha punti interni!), cosicché la misura interna di \(E\) è \(\mu_i(E)=0\) (per definizione).
Dato che la misura interna e la misura esterna di \(E\) sono diverse, \(E\) non è misurabile secondo Peano-Jordan.

Il fatto che \(E\) abbia interno vuoto dipende, essenzialmente, dal fatto che \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) e \(\mathbb{Q}\) sono densi in \(\mathbb{R}\), sicché in ogni intervallo (comunque piccolo) cadono sia numeri razionali sia numeri irrazionali.
Infatti, se, per assurdo, supponessi che \(E\) ha interno non vuoto, esisterebbe un intervallino aperto $I$ tutto contenuto in \(E\); ma ciò è assurdo, perché in tale intervallino cadrebbero numeri irrazionali, contro il fatto che $I$ essendo contenuto in $E$ avrebbe tutti elementi razionali.

[KatieP]

Perché la densità di Q in R non rappresenta un problema anche per i plurintervalli contenenti E? Non posso dire che anche per i plurintervalli contenenti potrei ottenere numeri irrazionali 'indesiderati' e che quindi l'unica misura possibile è 1, quella coincidente con E? In sostanza non capisco perché è possibile che esistano misure maggiori di 1 se Q è denso in R.

[gugo82]

Non capisco cosa intendi...