Insieme misurabile secondo Lebesgue
Buonasera a tutti,
vi propongo la seguente questione:
Sia [tex]m[/tex] la misura di Lebesgue su [tex]\mathbb{R}[/tex]. Se [tex]E\subseteq\mathbb{R}[/tex] è un insieme misurabile secondo Lebesgue, cosa si può dire circa la misurabilità dell'insieme [tex]-2E={-2x:x\in E}[/tex]? Si assuma che se [tex]m(E)=+\infty[/tex], allora [tex]m(-2E)=+\infty[/tex].
Intuitivamente l'insieme [tex]-2E[/tex] mi sembrerebbe misurabile e [tex]m(-2E)=2m(E)[/tex]. Vorrei provare (o smentire!) la mia congettura. L'unica proprietà della misura di Lebesgue che penso possa tornarmi utile e quella di invarianza per traslazioni ma non so se ciò possa portarmi a qualcosa di interessante.
Avreste qualche suggerimento?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
vi propongo la seguente questione:
Sia [tex]m[/tex] la misura di Lebesgue su [tex]\mathbb{R}[/tex]. Se [tex]E\subseteq\mathbb{R}[/tex] è un insieme misurabile secondo Lebesgue, cosa si può dire circa la misurabilità dell'insieme [tex]-2E={-2x:x\in E}[/tex]? Si assuma che se [tex]m(E)=+\infty[/tex], allora [tex]m(-2E)=+\infty[/tex].
Intuitivamente l'insieme [tex]-2E[/tex] mi sembrerebbe misurabile e [tex]m(-2E)=2m(E)[/tex]. Vorrei provare (o smentire!) la mia congettura. L'unica proprietà della misura di Lebesgue che penso possa tornarmi utile e quella di invarianza per traslazioni ma non so se ciò possa portarmi a qualcosa di interessante.
Avreste qualche suggerimento?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Ciao! Vedi un po' se così ti torna 
La misurabilità si può ottenere subito osservando che la trasformazione applicata al misurabile $E$ è lipschitziana. (Una trasformazione lipschitziana in $ \mathbb{R}^n$ conserva i misurabili.)
Ma, più precisamente, la trasformazione è lineare.
In $\mathbb{R}^n$ si prova che, data una trasformazione lineare T , è
$|TE|= t |E|$
dove $t$ denota il valore assoluto del determinante della matrice associata alla trasformazione ed $E$ un generico misurabile.
Sfruttando tale risultato, puoi presto concludere.
La misurabilità si può ottenere subito osservando che la trasformazione applicata al misurabile $E$ è lipschitziana. (Una trasformazione lipschitziana in $ \mathbb{R}^n$ conserva i misurabili.)
Ma, più precisamente, la trasformazione è lineare.
In $\mathbb{R}^n$ si prova che, data una trasformazione lineare T , è
$|TE|= t |E|$
dove $t$ denota il valore assoluto del determinante della matrice associata alla trasformazione ed $E$ un generico misurabile.
Sfruttando tale risultato, puoi presto concludere.
Ti ringrazio per la risposta.
Non conoscevo la proprietà che hai sfruttato. Dove posso trovare una sua dimostrazione?
Non conoscevo la proprietà che hai sfruttato. Dove posso trovare una sua dimostrazione?
Prego!
Puoi consultare il capitolo 3 del libro Measure and Integral (an introduction to real Analysis) di Richard Wheeden e Antoni Zygmund. Insieme al Rudin è un po' la Bibbia dei corsi di misura e integrazione, ti farà comodo!
Puoi consultare il capitolo 3 del libro Measure and Integral (an introduction to real Analysis) di Richard Wheeden e Antoni Zygmund. Insieme al Rudin è un po' la Bibbia dei corsi di misura e integrazione, ti farà comodo!
Grazie, molto gentile!
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