Insieme misurabile nel senso di Jordan
Consideriamo
\[ A := \{ (x,y) \in ]0,1] \times \mathbb{R} : y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \]
A è misurabile nel senso di Jordan?
Allora noi abbiamo la seguente definizione: Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) limitato, diciamo che \( E \) è misurabile nel senso di Jordan se \( \mathbf{1}_E \in \mathcal{R}(E) \), dove \( \mathbf{1}_E(\mathbf{x})=1 \) se \( \mathbf{x} \in E \) e \( \mathbf{1}_E(\mathbf{x})=0 \) se \( \mathbf{x} \not\in E \).
E si pone dunque
\[ \operatorname{Vol}(E) = \int_E \mathbf{1}_E(\mathbf{x})d\mathbf{x} \]
Il problema è che \( A \) non è limitato. Ma comunque credo che non ponga problemi (o sbaglio?)
\(\underline{S}, \overline{S} \)
Quello che devo dimostrare è che \( \mathbf{1}_A \) è integrabile nel senso di Riemann giusto?
Allora se notiamo l'insieme \( A_1:= \{ \mathbf{x} = (x,y) \in ]0,1]\times \mathbb{R} : y \leq 2 \} \subset A \) è chiaramente misurabile nel senso di Jordan infatti presa una partizione arbitraria \( \mathcal{P}=\{R_i\}_{i=1}^{\infty} \) di \( A_1 \) abbiamo che
\(\underline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P}) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \inf_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) \operatorname{Vol}(R_j) \)
\( \overline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sup_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) \operatorname{Vol}(R_j) \)
E visto che su \( A_1 \) abbiamo che fissato un \( j \in \mathbb{N}_+ \) \( \inf_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) = \sup_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) = 1 \), \( \forall j \in \mathbb{N}_+ \)
Dunque abbiamo chiaramente che
\[ \sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) = \operatorname{Vol}( A_1) = \inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) \]
Pertanto risulta che
\[ \int_{ A_1} \mathbf{1}_{ A_1} (\mathbf{x})d\mathbf{x} = \operatorname{Vol}( A_1) \]
Pertanto \( \mathbf{1}_{A_1} \in \mathcal{R}(A_1) \)
Insomma in fin dei conti \( A_1 \) è un rettangolo escluso il bordo di asse \( x = 0 \) che è un insieme trascurabile, mi sembra abbastanza chiaro che è misurabile nel senso di Jordan.
Il problema è più complesso considerando \( A_2 := \{ \mathbf{x} = (x,y) \in ]0,1]\times \mathbb{R} :2 < y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \subset A \), chiaramente abbiamo che \( y \neq 2 \) per ogni \( \mathbf{x} \in A_2 \) pertanto abbiamo che \( A= A_1 \sqcup A_2 \)
E mi sembra evidente (poi magari non è vero) che \( \operatorname{Vol}(A) = \operatorname{Vol}(A_1) +\operatorname{Vol}(A_2) \)
Pertanto se dimostriamo che \( \mathbf{1}_{A_2} \in \mathcal{R}(A_2) \) allora abbiamo dimostrato che \( \mathbf{1}_{A} \in \mathcal{R}(A) \) sicché
\[ \int_{ A} \mathbf{1}_{ A} (\mathbf{x})d\mathbf{x} = \int_{ A_1} \mathbf{1}_{ A_1} (\mathbf{x})d\mathbf{x} + \int_{ A_2} \mathbf{1}_{ A_2} (\mathbf{x})d\mathbf{x} \]
Sarei tentato di dire che per continuità di \( \sin(\frac{1}{x} ) \) su \( ]0,1] \) abbiamo che tutti i valori di \( y \in ]2,2+\sin(1)] \) sono presi e dunque posso applicare lo stesso argomento che ho applicato su \( A_1 \). Ma non sono sicuro.
E quindi \( A \) è misurabile nel senso di Jordan.
ps: domanda di curiosità, nelle note del corso la funzione caratteristica di \( E \) è scritta con \mathbb{1}_E ma quando scrivo \mathbb{1} non mi da il risultato sperato e mi lascia invariato l' 1. Ho cercato il motivo e ho letto che \mathbb non supporta con i pacchetti amssymb o txfonts le cifre. E mi dicono di usare il pacchetto bbm e scrivere \mathbbm o il pacchetto dsfont e scrivere \mathds. Ma se sul forum scrivo \mathds oppure \mathbbm non mi riconosce il comando. Sapete il perché?
\[ A := \{ (x,y) \in ]0,1] \times \mathbb{R} : y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \]
A è misurabile nel senso di Jordan?
Allora noi abbiamo la seguente definizione: Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) limitato, diciamo che \( E \) è misurabile nel senso di Jordan se \( \mathbf{1}_E \in \mathcal{R}(E) \), dove \( \mathbf{1}_E(\mathbf{x})=1 \) se \( \mathbf{x} \in E \) e \( \mathbf{1}_E(\mathbf{x})=0 \) se \( \mathbf{x} \not\in E \).
E si pone dunque
\[ \operatorname{Vol}(E) = \int_E \mathbf{1}_E(\mathbf{x})d\mathbf{x} \]
Il problema è che \( A \) non è limitato. Ma comunque credo che non ponga problemi (o sbaglio?)
\(\underline{S}, \overline{S} \)
Quello che devo dimostrare è che \( \mathbf{1}_A \) è integrabile nel senso di Riemann giusto?
Allora se notiamo l'insieme \( A_1:= \{ \mathbf{x} = (x,y) \in ]0,1]\times \mathbb{R} : y \leq 2 \} \subset A \) è chiaramente misurabile nel senso di Jordan infatti presa una partizione arbitraria \( \mathcal{P}=\{R_i\}_{i=1}^{\infty} \) di \( A_1 \) abbiamo che
\(\underline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P}) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \inf_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) \operatorname{Vol}(R_j) \)
\( \overline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sup_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) \operatorname{Vol}(R_j) \)
E visto che su \( A_1 \) abbiamo che fissato un \( j \in \mathbb{N}_+ \) \( \inf_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) = \sup_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) = 1 \), \( \forall j \in \mathbb{N}_+ \)
Dunque abbiamo chiaramente che
\[ \sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) = \operatorname{Vol}( A_1) = \inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) \]
Pertanto risulta che
\[ \int_{ A_1} \mathbf{1}_{ A_1} (\mathbf{x})d\mathbf{x} = \operatorname{Vol}( A_1) \]
Pertanto \( \mathbf{1}_{A_1} \in \mathcal{R}(A_1) \)
Insomma in fin dei conti \( A_1 \) è un rettangolo escluso il bordo di asse \( x = 0 \) che è un insieme trascurabile, mi sembra abbastanza chiaro che è misurabile nel senso di Jordan.
Il problema è più complesso considerando \( A_2 := \{ \mathbf{x} = (x,y) \in ]0,1]\times \mathbb{R} :2 < y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \subset A \), chiaramente abbiamo che \( y \neq 2 \) per ogni \( \mathbf{x} \in A_2 \) pertanto abbiamo che \( A= A_1 \sqcup A_2 \)
E mi sembra evidente (poi magari non è vero) che \( \operatorname{Vol}(A) = \operatorname{Vol}(A_1) +\operatorname{Vol}(A_2) \)
Pertanto se dimostriamo che \( \mathbf{1}_{A_2} \in \mathcal{R}(A_2) \) allora abbiamo dimostrato che \( \mathbf{1}_{A} \in \mathcal{R}(A) \) sicché
\[ \int_{ A} \mathbf{1}_{ A} (\mathbf{x})d\mathbf{x} = \int_{ A_1} \mathbf{1}_{ A_1} (\mathbf{x})d\mathbf{x} + \int_{ A_2} \mathbf{1}_{ A_2} (\mathbf{x})d\mathbf{x} \]
Sarei tentato di dire che per continuità di \( \sin(\frac{1}{x} ) \) su \( ]0,1] \) abbiamo che tutti i valori di \( y \in ]2,2+\sin(1)] \) sono presi e dunque posso applicare lo stesso argomento che ho applicato su \( A_1 \). Ma non sono sicuro.
E quindi \( A \) è misurabile nel senso di Jordan.
ps: domanda di curiosità, nelle note del corso la funzione caratteristica di \( E \) è scritta con \mathbb{1}_E ma quando scrivo \mathbb{1} non mi da il risultato sperato e mi lascia invariato l' 1. Ho cercato il motivo e ho letto che \mathbb non supporta con i pacchetti amssymb o txfonts le cifre. E mi dicono di usare il pacchetto bbm e scrivere \mathbbm o il pacchetto dsfont e scrivere \mathds. Ma se sul forum scrivo \mathds oppure \mathbbm non mi riconosce il comando. Sapete il perché?
Risposte
Usa \mathbf{1}.
Per il resto devo leggere tutto il post.
Per il resto devo leggere tutto il post.
Ora che ci penso, la definizione richiede che l'insieme sia limitato, quindi ha poco senso che parlare di misura di Jordan di un insieme illimitato. Però mi sembra molto strano che l'esercizio si risolve con "A non è limitato quindi non misurabile".
Qualquno può aiutarmi a capire?
Qualquno può aiutarmi a capire?
Usualmente, si dice che un insieme $A subseteq RR^n$ è misurabile secondo Peano & Jordan se è misurabile ogni insieme limitato $A nn Q_k$, in cui $Q_k = [-k , k]^n$ è il cubo di spigolo $2k$ centrato in $mathbf(0)$.
Come sospettavo, ho chiesto all'assistente e c'era un errore nell enunciato, la definizione che ho io di misura di Jordan è solo su un insieme limitato, pertanto non ha senso domandarsi se \( A \), come descritto nel primo commento, è misurabile secondo Jordan.
Tant'è che l'insieme corretto è
\[ A := \{ (x,y) \in ]0,1] \times \mathbb{R} : 0 \leq y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \]
"3m0o":
\[ A := \{ (x,y) \in ]0,1] \times \mathbb{R} : y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \]
Tant'è che l'insieme corretto è
\[ A := \{ (x,y) \in ]0,1] \times \mathbb{R} : 0 \leq y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \]
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