Insieme misurabile e area dei punti di frontiera (Analisi 2)

[Geronimo2]

Ciao a tutti

Oggi a lezione mi è stato enunciato il seguente criterio per capire se un insieme è regolare o meno:

"Un insieme in 2 dimensioni, limitato, è misurabile se l'area (o misura) dei punti di frontiera è nulla"

Non riesco a trovare un controesempio: quando l'area dei punti di frontiera può essere non nulla?
Nel libro di testo viene fornito questo esempio:

$A=([0,1] nn mathbb(Q))^2$ , $partial A = [0.1]^2$, e $|partial A| = 1$

(con $|partial A|$ intendo l'area (o misura) dei punti di frontiera di $A$).



PS: per fare domande di analisi 2 è giusta questa sezione? Perché ricevo molte meno risposte rispetto a quelle date alle mie domande su Analisi 1

[phaerrax]

Misurabile... rispetto a quale misura?
Come dici tu, l'insieme \([0,1]^2\cup\mathbb Q^2\) ha una frontiera di misura non nulla, ma è decisamente misurabile (esso stesso ha misura nulla), almeno secondo Lebesgue.

[Geronimo2]

Mi dispiace ma non saprei andare oltre a quello scritto nel messaggio (non abbiamo mai parlato di "misurabile rispetto a.." e nemmeno di Ledesgue): la mia richiesta è semplicemente capire con un esempio applicativo quando un insieme di frontiera (che ad intuito lo immagino sempre di area nulla) ha area diversa da 0.

[phaerrax]

Allora con quale misura intendi definire l'«area dei punti di frontiera»?