Insieme Misurabile-dimostrazione

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galles90
galles90
22 mag 2019, 11:34
Buongiorno,
ho la seguente caratterizzazione:
Proposizione
L'insieme $X$ è misurabile se e solo se, per ogni $epsilon$ esistono due plurintervalli $P_1,P_2$ con $P_1 subset X subset P_2 $ tale che
$m(P_2)-m(P_1)
Riporto quello che sono riuscito a fare, in primis scrivo le definizioni, di misura interna,esterna ed insieme misurabile, poi do la dimostrazione, segue:
1.Definizione
Sia $X$ sottoinsieme limitato di $RR$ Siano $m_i(X)$ e $m_e(X)$ misura interna, esterna di $X$ rispettivamente, definite come
$m_i(X)=text(sup){m(P_1): P_1 subset X},$
$m_e(X)=text(inf){m(P_2): X subset P_2}.$

2.Definizione
Se $m_i(X)=m_e(X)$ l'insieme $X$ dicesi misurabile, allora risulta
$m(X)=m_i(X)=m_e(X)$


Dimostrazione-proposizione:

1)
Sia $X$ misurabile, quindi risulta $m_i(X)=m_e(X)$ dalla definizione 1. e dalle proprietà dell'estremo sup. e inf. sia $epsilon>0$
a) $m_i(X)-epsilon/2
b) $m_e(X)+epsilon/2>m(P_2)$
dal momento che vale $m_i(X)=m_e(X)$ in a) risulta
$m_e(X)-epsilon/2 quindi
$0
dalla proprietà transita della relazione d'ordine si ha
$0 la quale è equivalente a
$m(P_2)-m(P_1)
quindi la tesi.

2)
Se vale
$m(P_2)-m(P_1)
dalle proprieta del sup. e inf. si ha $m_i(X) ge m(P_1), \ m_e(X) le m(P_2) $ otteniamo

$0 le m_e(X) -m_i(x) le m(P_2) - m(P_1) < epsilon $

affinchè valga quest'ultima si deve avere che $m_i(X)=m_e(X)$ cioè $X$ misurabile, quindi si ha la tesi.

Va bene ?
Risposte
gugo82
gugo82
22 mag 2019, 15:29
Basta una riga, in realtà…

Dim.: Per definizione, $X$ è misurabile (secondo Peano & Jordan) se e solo se i due insiemi numerici $\{ m(P_1), P_1 text( pluriintervallo contenuto in ) X\}$ e $\{ m(P_2), P_2 text( pluriintervallo contenente ) X\}$ sono separati e contigui (ed il secondo è l’insieme dei maggioranti) e ciò equivale alla condizione scritta nell’enunciato.
galles90
galles90
22 mag 2019, 18:10
Buonasera gugo82
"gugo82":
Basta una riga, in realtà…

si ho letto le definizioni di insiemi seperati e contigui ed è equivalente all'enuciato da me scritto.
Infine, quello che ho scritto può essere preso per buono ?

Ciao
gugo82
gugo82
22 mag 2019, 18:40
Ad essere buono, è buono.
Ma è anche inutile (o, meglio, è utile solo per esercizio, se lo capisci), perché hai ripetuto parola per parola qualcosa che credo tu abbia già dimostrato, cioè:
Due sottoinsiemi separati $A,B sube RR$, con $B$ insieme dei maggioranti, sono contigui se e solo se $AA epsilon > 0, EE a in A, EE b in B:\ b - a < epsilon$.
galles90
galles90
22 mag 2019, 20:27
Ni, in verità è simile alla dimostrazione del seguente enunciato:

Una funzione $f$ limitata su $[a,b]$ è integrabile secondo Riemann se e solo se $forall epsilon >0$ esiste una partzione di $P$ di $[a,b]$ tale che
$S(P)-s(P)
Anche se la prima parte della dimostrazione dell'enunciato è diversa.
gugo82
gugo82
22 mag 2019, 20:45
Che è sempre la stessa cosa.

Tutti questi teoremi sono fondati sul teorema di caratterizzazione dei sottoinsiemi separati e contigui che ti ho citato sopra (ed in fatti sono tutti uguali).
galles90
galles90
23 mag 2019, 06:26
Buongiorno gugo82
"gugo82":
Che è sempre la stessa cosa.

Si :-)
"gugo82":
Tutti questi teoremi sono fondati sul teorema di caratterizzazione dei sottoinsiemi separati e contigui che ti ho citato sopra (ed in fatti sono tutti uguali).

grazie come sempre per le pillole di saggezza :smt023
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