Insieme misurabile
Salve ragazzi,vi enuncio le frasi che non mi tornano su questo argomento.
Sia E l'insieme ,del piano $XY$ ,costiuito dal quadrato $q$:$0<=x<=1$ $0<=y<=1$, con coordinate espresse con numeri razionali.
Perchè la misura interna di questo insieme è zero?A prima vista mi sembra che comunque posso vedere dei plurirettangoli all'interno di q.
Cosa ne pensate?
Sia E l'insieme ,del piano $XY$ ,costiuito dal quadrato $q$:$0<=x<=1$ $0<=y<=1$, con coordinate espresse con numeri razionali.
Perchè la misura interna di questo insieme è zero?A prima vista mi sembra che comunque posso vedere dei plurirettangoli all'interno di q.
Cosa ne pensate?
Risposte
Scritto meglio il tuo insieme [tex]$E$[/tex] è [tex]$\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 0\leq x,y \leq 1 \text{ e } x,y\in \mathbb{Q} \}$[/tex].
Non mi sembra che [tex]$E$[/tex] contenga qualche rettangolo (per quanto piccolo lo si voglia prendere... Basta imitare la prova della non misurabilità alla Peano-Jordan di [tex]$[0,1]\cap \mathbb{Q}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]: la parola magica è densità!), quindi non vedo come la sua misura interna di [tex]$E$[/tex] possa essere [tex]$>0$[/tex].
Non mi sembra che [tex]$E$[/tex] contenga qualche rettangolo (per quanto piccolo lo si voglia prendere... Basta imitare la prova della non misurabilità alla Peano-Jordan di [tex]$[0,1]\cap \mathbb{Q}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]: la parola magica è densità!), quindi non vedo come la sua misura interna di [tex]$E$[/tex] possa essere [tex]$>0$[/tex].
Ma perchè non posso prendere un rettangolo di coordinate, $(0.5,0.5)?$
Articolo determinativo usato impropriamente... Di rettangoli con centro in [tex]$(\tfrac{1}{2} ,\tfrac{1}{2})$[/tex] ce ne sono a bizzeffe; dovresti specificare quanto son lunghi i lati e come sono orientati.
E, cosa più importante, sei sicuro che il rettangolo scelto sia tutto contenuto in [tex]$E$[/tex]?
E, cosa più importante, sei sicuro che il rettangolo scelto sia tutto contenuto in [tex]$E$[/tex]?
E' probabile che non ho la cosa chiara e che quindi sto sparando castronerie.
Comunque ,se prendo il rettangolo (che poi è un quadrato) di coordinate $X=(0.5) Y=0.5$ non avrebbe i lati lunghi appunto $0.5$?
Comunque ,se prendo il rettangolo (che poi è un quadrato) di coordinate $X=(0.5) Y=0.5$ non avrebbe i lati lunghi appunto $0.5$?
Se per esempio in questo insieme piano e limitato $E$ prendo il rettangolo con coordinate quelle di prima e lunghezza mettiamo ancora $0.5$ ,a me pare che esista e i suoi lati toccano la frontiera dell'insieme ma comunque il rettangolo è interno.
No?
No?
Come già detto se non specifichi bene le cose è inutile che continuiamo.
Ad esempio i seguenti:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0;ymax=1;
axes("","");
rect([0,0],[1,1]);
stroke="red";
rect([0.3,0.1],[0.7,0.9]);
stroke="dodgerblue";
rect([0.1,0.4],[0.9,0.6]);
stroke="green";
line([0.15,0.25],[0.25,0.15]);
line([0.25,0.15],[0.85,0.75]);
line([0.15,0.25],[0.75,0.85]);
line([0.75,0.85],[0.85,0.75]);
stroke="orange";
dot([0.5,0.5]);[/asvg]
sono tutti rettangoli aventi centro in [tex]$(\tfrac{1}{2} ,\tfrac{1}{2})$[/tex], no?
Prendiamo per buono che tu voglia scegliere il quadrato [tex]$Q:=[0,1]^2$[/tex] (quello nero in figura). Sei sicuro che esso sia tutto contenuto in [tex]$E$[/tex]?
Ad esempio, il punto [tex]$(\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,\tfrac{1}{2}) \in Q$[/tex] è in [tex]$E$[/tex]?
Ed i punti [tex]$(\tfrac{1}{3} ,\tfrac{\sqrt{3}}{2}) , (\tfrac{\sqrt{7}}{11} ,\tfrac{\pi}{20})\in Q$[/tex] sono in [tex]$E$[/tex]?
Ad esempio i seguenti:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0;ymax=1;
axes("","");
rect([0,0],[1,1]);
stroke="red";
rect([0.3,0.1],[0.7,0.9]);
stroke="dodgerblue";
rect([0.1,0.4],[0.9,0.6]);
stroke="green";
line([0.15,0.25],[0.25,0.15]);
line([0.25,0.15],[0.85,0.75]);
line([0.15,0.25],[0.75,0.85]);
line([0.75,0.85],[0.85,0.75]);
stroke="orange";
dot([0.5,0.5]);[/asvg]
sono tutti rettangoli aventi centro in [tex]$(\tfrac{1}{2} ,\tfrac{1}{2})$[/tex], no?
Prendiamo per buono che tu voglia scegliere il quadrato [tex]$Q:=[0,1]^2$[/tex] (quello nero in figura). Sei sicuro che esso sia tutto contenuto in [tex]$E$[/tex]?
Ad esempio, il punto [tex]$(\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,\tfrac{1}{2}) \in Q$[/tex] è in [tex]$E$[/tex]?
Ed i punti [tex]$(\tfrac{1}{3} ,\tfrac{\sqrt{3}}{2}) , (\tfrac{\sqrt{7}}{11} ,\tfrac{\pi}{20})\in Q$[/tex] sono in [tex]$E$[/tex]?
Praticamente un rettangolo contenuto in $E$ qualunque esso sia non potrà avere tutti i punti $ P in Q$ cioè non può avere coordinate espresse come numeri razionali,quindi non appartiene ad $E$?
L'idea è quella (praticamente si usa la densità degli irrazionali)... Ma cerca di esprimerla meglio quando la vai a raccontare al prof. 
"gugo82":
L'idea è quella (praticamente si usa la densità degli irrazionali)... Ma cerca di esprimerla meglio quando la vai a raccontare al prof.
Ho capito,ti ringrazio. Sul linguaggio..Beh hai ragione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo