Insieme misurabile
Se prendiamo un insieme qualunque $\Omega$ perchè allora $|\Omega| = \int \int_{\Omega} \ dx dy$ ?
Un insieme è misurabile se la funzione è integrabile in esso? ma affinchè questo succeda l'insieme deve avere frontiera nulla? cioè l'insieme deve essere aperto e limitato?
Grazie mille
Un insieme è misurabile se la funzione è integrabile in esso? ma affinchè questo succeda l'insieme deve avere frontiera nulla? cioè l'insieme deve essere aperto e limitato?
Grazie mille
Risposte
Queste cose dipende da come le costruisci...
Se \(\Omega\) è misurabile (secondo Peano-Jordan o secondo Lebesgue), allora si dimostra che:
\[
|\Omega |=\iint_\Omega \text{d} x\text{d}y\; ;
\]
dovrebbe esserci sul libro questo fatto.
Viceversa, puoi sempre dire che un insieme è misurabile se la funzione caratteristica \(\chi_\Omega\) è integrabile (nel senso di Riemann o nel senso di Lebesgue) in \(\mathbb{R}^2\) e che, in tal caso si pone per definizione:
\[
|\Omega| = \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_\Omega (x,y)\ \text{d} x\text{d} y = \iint_\Omega \text{d} x\text{d} y\; .
\]
Poi, però, devi dimostrare che \(|\cdot |\) coincide con la misura di Peano-Jordan oppure di Lebsgue.
In ogni caso, non è vero che tutti gli insiemi sono misurabili.
Per quanto riguarda il resto, si dimostra senza troppi patemi che un insieme \(\Omega\) è misurabile secondo Peano-Jordan se il suo bordo \(\partial \Omega\) (indipendentemente dal fatto che \(\partial \Omega\), o parti di esso, sia contenuto in \(\Omega\); cioè indipendentemente dal fatto che \(\Omega\) sia chiuso o aperto) ha misura nulla.
P.S.: Però, la prossima volta sforzati di scrivere in maniera più comprensibile.
Se \(\Omega\) è misurabile (secondo Peano-Jordan o secondo Lebesgue), allora si dimostra che:
\[
|\Omega |=\iint_\Omega \text{d} x\text{d}y\; ;
\]
dovrebbe esserci sul libro questo fatto.
Viceversa, puoi sempre dire che un insieme è misurabile se la funzione caratteristica \(\chi_\Omega\) è integrabile (nel senso di Riemann o nel senso di Lebesgue) in \(\mathbb{R}^2\) e che, in tal caso si pone per definizione:
\[
|\Omega| = \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_\Omega (x,y)\ \text{d} x\text{d} y = \iint_\Omega \text{d} x\text{d} y\; .
\]
Poi, però, devi dimostrare che \(|\cdot |\) coincide con la misura di Peano-Jordan oppure di Lebsgue.
In ogni caso, non è vero che tutti gli insiemi sono misurabili.
Per quanto riguarda il resto, si dimostra senza troppi patemi che un insieme \(\Omega\) è misurabile secondo Peano-Jordan se il suo bordo \(\partial \Omega\) (indipendentemente dal fatto che \(\partial \Omega\), o parti di esso, sia contenuto in \(\Omega\); cioè indipendentemente dal fatto che \(\Omega\) sia chiuso o aperto) ha misura nulla.
P.S.: Però, la prossima volta sforzati di scrivere in maniera più comprensibile.
Grazie per la risposta.
Vorrei aggiungere che non ho capito bene la necessità di introdurre la misurabilità di un insieme. Mi spiego:
Ho capito che una funzione non sempre è definita in un insieme rettangolare, poichè questo può essere di forma generica ovviamente. Quello che si fa è prendere una funzione tilde che è uguale alla funzione di partenza per ogni elemento appartenente al nostro $\Omega$ e $0$ per $\Q - \Omega$ dove $Q \subset \Omega$ ed è rettangolare. Quello che succede è che in $\partial \Omega$ la funzione non è continua? Perchè poi si deve parlare di insieme misurabile? Come si vede se lo è?
Vorrei aggiungere che non ho capito bene la necessità di introdurre la misurabilità di un insieme. Mi spiego:
Ho capito che una funzione non sempre è definita in un insieme rettangolare, poichè questo può essere di forma generica ovviamente. Quello che si fa è prendere una funzione tilde che è uguale alla funzione di partenza per ogni elemento appartenente al nostro $\Omega$ e $0$ per $\Q - \Omega$ dove $Q \subset \Omega$ ed è rettangolare. Quello che succede è che in $\partial \Omega$ la funzione non è continua? Perchè poi si deve parlare di insieme misurabile? Come si vede se lo è?
In realtà questi dubbi sono gli stessi che hanno contrassegnato l'integrazione in dimensione \(\geq 2\) per lunghissimo tempo.
Non è affatto ovvio perchè si introduca il concetto di misurabilità, però è semplice capire come ciò parta, in fondo, dal fatto che è molto semplice definire l'integrale di una funzione su un rettangolo (e, più in generale, su un parallelepipedo).
Se assegno una funzione \(f\) limitata in un rettangolo \(R\), posso imitare la costruzione dell'integrale di Riemann fatta per funzioni di una variabile: l'unica differenza è che in questo caso, al posto delle decomposizioni di un intervallo dovrò considerare le quadrettature del rettangolo... Però, a parte questo dettaglio, non c'è nulla di diverso: si costruiscono le somme superiori ed inferiori rispetto ad una quadrettatura generica e si fa vedere che le due classi di numeri descritte dalle somme inferiori e superiori sono separate; poi si dice che una funzione è integrabile se tali due classi sono contigue ed, in tal caso, l'elemento separatore si chiama integrale di \(f\) su \(R\).
Ora, immaginiamo di voler ripetere la stessa cosa per un insieme qualsiasi \(\Omega\). La prima cosa che dovremmo fare è prendere una quadrettatura di \(\Omega\)... Ma come facciamo?
Se \(\Omega\) non è un unione di rettangoli, esso non si può quadrettare in maniera esatta! Comunque si voglia stendere una griglia quardrettata su \(\Omega\), ci saranno quadretti tutti contenuti dentro \(\Omega\), quadretti tutti fuori da \(\Omega\) e, però, anche quadretti che non stanno né tutti dentro né tutti fuori da \(\Omega\).
E allora quali quadretti dovremmo prendere per definire le somme inferiori e superiori?
Se prendessimo solo quelli tutti interni, otterremo delle somme inferiori che non tengono conto del comportamento di \(f\) in alcuni pezzi di \(\Omega\) (e ciò non va bene, poiché \(f\) potrebbe essere molto grande lì dove non riusciamo a guardare); d'altra parte, se prendessimo anche i quadratini che non sono tutti interni, correremo il rischio di ingrandire molto le somme integrali, perchè stiamo guardando un insieme più grande di \(\Omega\) (i.e., l'unione di tutti i quadratini che contengono punti di \(\Omega\)).
Allora i matematici hanno inventato un compromesso: per non lasciare valori di \(f\) non considerati, si devono quardare tutti i quadratini interni ad \(\Omega\) e pure quelli che non stanno né tutti dentro né tutti fuori; d'altra parte, per non correre il rischio di ingrandire troppo le somme integrali, per fare ciò è necessario considerare il prolungamento di \(f\) fuori da \(\Omega\) che si ottiene troncando la funzione a zero (i.e., il prolungamento che hai chiamato \(\tilde{f}\)).
In particolare, se l'insieme \(\Omega\) è limitato, esso si può racchiudere in un rettangolo \(R\), quindi per definizione l'integrale di \(f\) su \(\Omega\) è la quantità \(\iint_R \tilde{f}(x,y)\ \text{d} x\text{d}y\) (che si sapeva già come definire), ammesso che tale integrale esista.
Ovviamente, questo è un discorso da prendere cum grano salis; però illustra bene i motivi base per cui l'integrale in dimensione \(\geq 2\) è definito così come si vede nei libri.
Non è affatto ovvio perchè si introduca il concetto di misurabilità, però è semplice capire come ciò parta, in fondo, dal fatto che è molto semplice definire l'integrale di una funzione su un rettangolo (e, più in generale, su un parallelepipedo).
Se assegno una funzione \(f\) limitata in un rettangolo \(R\), posso imitare la costruzione dell'integrale di Riemann fatta per funzioni di una variabile: l'unica differenza è che in questo caso, al posto delle decomposizioni di un intervallo dovrò considerare le quadrettature del rettangolo... Però, a parte questo dettaglio, non c'è nulla di diverso: si costruiscono le somme superiori ed inferiori rispetto ad una quadrettatura generica e si fa vedere che le due classi di numeri descritte dalle somme inferiori e superiori sono separate; poi si dice che una funzione è integrabile se tali due classi sono contigue ed, in tal caso, l'elemento separatore si chiama integrale di \(f\) su \(R\).
Ora, immaginiamo di voler ripetere la stessa cosa per un insieme qualsiasi \(\Omega\). La prima cosa che dovremmo fare è prendere una quadrettatura di \(\Omega\)... Ma come facciamo?
Se \(\Omega\) non è un unione di rettangoli, esso non si può quadrettare in maniera esatta! Comunque si voglia stendere una griglia quardrettata su \(\Omega\), ci saranno quadretti tutti contenuti dentro \(\Omega\), quadretti tutti fuori da \(\Omega\) e, però, anche quadretti che non stanno né tutti dentro né tutti fuori da \(\Omega\).
E allora quali quadretti dovremmo prendere per definire le somme inferiori e superiori?
Se prendessimo solo quelli tutti interni, otterremo delle somme inferiori che non tengono conto del comportamento di \(f\) in alcuni pezzi di \(\Omega\) (e ciò non va bene, poiché \(f\) potrebbe essere molto grande lì dove non riusciamo a guardare); d'altra parte, se prendessimo anche i quadratini che non sono tutti interni, correremo il rischio di ingrandire molto le somme integrali, perchè stiamo guardando un insieme più grande di \(\Omega\) (i.e., l'unione di tutti i quadratini che contengono punti di \(\Omega\)).
Allora i matematici hanno inventato un compromesso: per non lasciare valori di \(f\) non considerati, si devono quardare tutti i quadratini interni ad \(\Omega\) e pure quelli che non stanno né tutti dentro né tutti fuori; d'altra parte, per non correre il rischio di ingrandire troppo le somme integrali, per fare ciò è necessario considerare il prolungamento di \(f\) fuori da \(\Omega\) che si ottiene troncando la funzione a zero (i.e., il prolungamento che hai chiamato \(\tilde{f}\)).
In particolare, se l'insieme \(\Omega\) è limitato, esso si può racchiudere in un rettangolo \(R\), quindi per definizione l'integrale di \(f\) su \(\Omega\) è la quantità \(\iint_R \tilde{f}(x,y)\ \text{d} x\text{d}y\) (che si sapeva già come definire), ammesso che tale integrale esista.
Ovviamente, questo è un discorso da prendere cum grano salis; però illustra bene i motivi base per cui l'integrale in dimensione \(\geq 2\) è definito così come si vede nei libri.
Grazie mille per questa spiegazione, Gugo 
Ora però se volessi dire se il seguente insieme sia misurabile o meno non ci riesco:
${(x,y) : 1<= x^2 + y^2 <= 4}$
Ora però se volessi dire se il seguente insieme sia misurabile o meno non ci riesco:
${(x,y) : 1<= x^2 + y^2 <= 4}$
Quell'insieme è misurabile, poiché si può rappresentare come unione di insiemi compresi tra i grafici di due funzioni continue.
In particolare, detto \(\Omega\) il tuo insieme, hai:
\[
\Omega =\Omega^+\cup \Omega^-
\]
con:
\[
\begin{split}
\Omega^+ &:= \{(x,y):\ x\in [-2,2] \text{ e } y \in [f(x),g(x)]\} \\
\Omega^- &:= \{(x,y):\ x\in [-2,2] \text{ e } y \in [-g(x),-f(x)]\}
\end{split}
\]
con \(f,g:[-2,2]\to \mathbb{R}\) definite ponendo:
\[
\begin{split}
f (x)&:= \begin{cases} \sqrt{1-x^2} &\text{, se } -1\leq x\leq 1\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
g (x)&:= \sqrt{4-x^2}\; .
\end{split}
\]
In particolare, detto \(\Omega\) il tuo insieme, hai:
\[
\Omega =\Omega^+\cup \Omega^-
\]
con:
\[
\begin{split}
\Omega^+ &:= \{(x,y):\ x\in [-2,2] \text{ e } y \in [f(x),g(x)]\} \\
\Omega^- &:= \{(x,y):\ x\in [-2,2] \text{ e } y \in [-g(x),-f(x)]\}
\end{split}
\]
con \(f,g:[-2,2]\to \mathbb{R}\) definite ponendo:
\[
\begin{split}
f (x)&:= \begin{cases} \sqrt{1-x^2} &\text{, se } -1\leq x\leq 1\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
g (x)&:= \sqrt{4-x^2}\; .
\end{split}
\]
Grazie mille
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