Insieme illimitato superiormente

[zeno182]

sia $A sub R$ un insieme illimitato superiormente.

cioè ha Estremo Superiore, sup$A =+infty$

alla domanda: «Quanti maggioranti ha l'insieme A?», la risposta è: «1» oppure «infiniti»?

[Shocker1]

Ciao

Qual è la definizione di maggiorante? Un insieme illimitato superiormente può ammettere maggiorante?

[zeno182]

"Shocker":
Qual è la definizione di maggiorante? Un insieme illimitato superiormente può ammettere maggiorante?

dunque se non sbaglio, per definizione, un maggiorante di un insieme è un valore che è $ >= $ (maggiore o uguale) ad ogni elemento dell'insieme.

ma ho letto, quindi so, che un insieme illimitato superiormente ha sup$=+infty$, ma il sup di un insieme non è altro che il più piccolo dei maggioranti dell'insieme, di conseguenza deduco che tale insieme illimitato superiormente ha almeno un maggiorante... anche se, proprio per definizione dello stesso, un maggiorante si definisce tale, se è maggiore o uguale di ogni elemento dell'insieme, ma se l'insieme è illimitato superiormente, posso sempre trovare un elemento che è maggiore di esso... (e qui sicuramente mi sbaglio, ma mi pare proprio un cane che si morde la coda...)

quindi ricapitolando il mio ragionamento: $A$ è illimitato superiormente $ rArr $ sup$A=+infty rArr$, poichè il sup è un maggiorante, in particolare il più piccolo $ rArr A $ ha almeno un maggiorante

da qui la domanda: un insieme illimitato superiormente quanti maggioranti ha? 1 o infiniti?


scusate se il mio pensiero può sembrare alla «inception», spero di essermi spiegato...

[Shocker1]

"zeno182":

quindi ricapitolando il mio ragionamento: $A$ è illimitato superiormente $ rArr $ sup$A=+infty rArr$, poichè il sup è un maggiorante, in particolare il più piccolo $ rArr A $ ha almeno un maggiorante

da qui la domanda: un insieme illimitato superiormente quanti maggioranti ha? 1 o infiniti?

Qui la situazione si fa più delicata.
Ci sono due possibilità: $SupA = oo$ è solo una scrittura per indicare che $A$ non è limitato superiormente e di conseguenza non ha maggioranti; oppure consideri $R uu {-oo, +oo}$ dove $-oo$ è l'elemento più piccolo di $R$ e $+oo$ l'elemento più grande(ovviamente viene estesa anche la relazione d'ordine $<=$), in questo caso $SupA = +oo$ indica che $A$ è illimitato superiormente ed ha come maggiorante ed estremo superiore $+oo$. Spero di non averti confuso le idee e invito qualche utente più esperto a correggere(o confermare) quel che ho detto.