Insieme finito (definizione)
Un insieme è detto finito se esiste un n nei reali e taleche possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme {1,2,...,n}.
Però mi chiedevo: essendo n arbitrario e potendo andare avanti all'infinito, non comprendo perché esso corrisponda all'idea di finitezza. E' un "processo" che può andare avanti all'infinito.
Non comprendo bene 'sta definizione.
Però mi chiedevo: essendo n arbitrario e potendo andare avanti all'infinito, non comprendo perché esso corrisponda all'idea di finitezza. E' un "processo" che può andare avanti all'infinito.
Non comprendo bene 'sta definizione.
Risposte
Mmmh non capisco bene la questione.
Diciamo che un insieme $X$ è finito se esiste un $N \in NN$ fissato e una funzione biettiva $f : \{1, ..., N-1, N\} \to X$. (*)
Il numero $N$ è fissato, non cambia, non c'è alcun processo.
Per esempio, l'insieme $\{a,b,c\}$ può essere messo in corrispondenza biunivoca con $\{1,2,3\}$ tramite la funzione $f=\{ (1,a),(2,b),(3,c)\}$.
Puoi anche provare che se vale la definizione (*) per un certo insieme $X$, allora non esistono $M \ne N$ e una funzione biettiva $g : \{1, ..., M-1.M\} \to X$, a riprova che quanto dici non è vero.
Diciamo che un insieme $X$ è finito se esiste un $N \in NN$ fissato e una funzione biettiva $f : \{1, ..., N-1, N\} \to X$. (*)
Il numero $N$ è fissato, non cambia, non c'è alcun processo.
Per esempio, l'insieme $\{a,b,c\}$ può essere messo in corrispondenza biunivoca con $\{1,2,3\}$ tramite la funzione $f=\{ (1,a),(2,b),(3,c)\}$.
Puoi anche provare che se vale la definizione (*) per un certo insieme $X$, allora non esistono $M \ne N$ e una funzione biettiva $g : \{1, ..., M-1.M\} \to X$, a riprova che quanto dici non è vero.
Ciao marex,
Condivido le perplessità di Bremen000...
Non è che per caso invece ti stai riferendo alla definizione di insieme numerabile, che non è necessariamente finito?
Si può dimostrare ad esempio che $\QQ $ è numerabile.
Condivido le perplessità di Bremen000...
Non è che per caso invece ti stai riferendo alla definizione di insieme numerabile, che non è necessariamente finito?
Si può dimostrare ad esempio che $\QQ $ è numerabile.
@marex: Dovresti riflettere bene su cosa hai scritto/letto, soprattutto su $exists n$.
$n$ non è arbitrario, è fisso.
Grazie per le celeri e numerose risposte. Certe volte mi areno sulle questioni più semplici e lapalissiane(/intuitive).
Quel che mi fa storcere il naso è che mi dico, metto in corrispondenza un dato insieme con $I_n$ e se ciò è possibile lo chiamo "finito", ma questa operazione la posso fare per qualunque valore di n -per questo scrivevo "processo infinito"-. Quindi dato che si definisce cardinalità infinita quella per cui non è possibile costruire tale funzione biiettiva mi pare di poter affermare che N, Z, Q sono finiti sempre: posso sempre per qualunque n trovare tale relazione con un qualunque $I_n={1,2,...,n}$. In breve, non mi pare mai verificata la condizione per chiamarlo infinito (Parlando di Z,N,Q e lasciando da parte R per ora, quello ha un altro dipo di "non corrispondenza").
Quel che mi fa storcere il naso è che mi dico, metto in corrispondenza un dato insieme con $I_n$ e se ciò è possibile lo chiamo "finito", ma questa operazione la posso fare per qualunque valore di n -per questo scrivevo "processo infinito"-. Quindi dato che si definisce cardinalità infinita quella per cui non è possibile costruire tale funzione biiettiva mi pare di poter affermare che N, Z, Q sono finiti sempre: posso sempre per qualunque n trovare tale relazione con un qualunque $I_n={1,2,...,n}$. In breve, non mi pare mai verificata la condizione per chiamarlo infinito (Parlando di Z,N,Q e lasciando da parte R per ora, quello ha un altro dipo di "non corrispondenza").
"marex":
[...] metto in corrispondenza un dato insieme con $I_n$ e se ciò è possibile lo chiamo "finito". [...]
ok
"marex":
[...] ma questa operazione la posso fare per qualunque valore di n -per questo scrivevo "processo infinito"- [...]
No. Preso un insieme può esistere al massimo un $N \in NN$ per cui riesci a fare quell'operazione. Fissato un insieme esiste (al massimo) un solo $N \in NN$ fissato.
"marex":
[...] Quindi dato che si definisce cardinalità infinita quella per cui non è possibile costruire tale funzione biiettiva mi pare di poter affermare che N, Z, Q sono finiti sempre: posso sempre per qualunque n trovare tale relazione con un qualunque In={1,2,...,n}. [...]
Eh? Mi trovi un $I_n$ che sia in biiezione con $NN$? (ovviamente non esiste, ma magari provando a trovarlo ti rendi conto di cosa hai capito male).
"marex":
Metto in corrispondenza un dato insieme con $I_n$ e se ciò è possibile lo chiamo "finito", ma questa operazione la posso fare per qualunque valore di n
No, dato un insieme finito $X$ c'è un solo $I_n$ per cui questa operazione è possibile; quell'$n$ è esattamente il numero di elementi di $X$.
Quello che stai dicendo tu è che esiste un numero infinito di insiemi finiti distinti. Ma questo è vero, e ovvio, ci mancherebbe altro.
"marex":
Quel che mi fa storcere il naso è che mi dico, metto in corrispondenza un dato insieme con $I_n$ e se ciò è possibile lo chiamo "finito", ma questa operazione la posso fare per qualunque valore di n -per questo scrivevo "processo infinito"-.
Storci il naso perché stai confondendo il fatto che sia possibile costruire insiemi finiti con un arbitrario numero di elementi, con quello che invece è il senso della definizione.
"marex":
Quindi dato che si definisce cardinalità infinita quella per cui non è possibile costruire tale funzione biiettiva mi pare di poter affermare che N, Z, Q sono finiti sempre: posso sempre per qualunque n trovare tale relazione con un qualunque $I_n={1,2,...,n}$. In breve, non mi pare mai verificata la condizione per chiamarlo infinito (Parlando di Z,N,Q e lasciando da parte R per ora, quello ha un altro dipo di "non corrispondenza").
Beh, prova... Fammi vedere una biiezione tra un qualsiasi $I_n$ ed $NN$, ad esempio.
Tu dici di potere fare questa cosa per tutti gli $n inNN$ no? se così fosse ovvero se esistessero $f:I_n -> A$ e $g:I_m -> A$ applicazioni biunivoche, l'applicazione $g^(-1)circf:I_n->A->I_m$ è ancora biunivoca significherebbe che $|I_n|=|I_m|$ e questo è vero se e solo se $m=n$
Grazie ancora, ho compreso l'errore concettuale che facevo.
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