Insieme estremi inferiori
Salve a tutti... Sono un nuovo iscritto e spero di risolvere qui i miei problemi!
Ho una serie di esercizi dove si necessita svolgere due funzioni dove la prima è un certo insieme di estremi inferiori. Mi spiego meglio portando l'esempio:
Posto per ogni y $in$ R
$g(y)=$inf${e^(ny), AA n in N }$
Studiare la funzione
$f(x)=g(x^3-x)$
Mi viene intuitivo pensare che il valore più piccolo dell'esponensiale di e è per n=0 se y>0 e +oo se y<0 ma come mi devo comportare dopo per studiare la seconda funzione? Probabilmente è banale ma ho parecchi dubbi...
Divido i due casi? Ho fatto dei conti mentali e il grafico risulterebbe un pò strano come se fossero due costanti rispettivamente per x^3-x<0 e x^3-x>0...
I dubbi mi vengono soprattutto nel secondo esercizio in cui la cosa si complica...
Posto per ogni x $in$ R
$g(x)=$inf${n in reali positivi, n | x/n in [-2:2]}$
Studiare la funzione
$f(x)=2g(x)(e^x-4)$
Vi ringrazio anticipatamente per il prezioso aiuto!
Ho una serie di esercizi dove si necessita svolgere due funzioni dove la prima è un certo insieme di estremi inferiori. Mi spiego meglio portando l'esempio:
Posto per ogni y $in$ R
$g(y)=$inf${e^(ny), AA n in N }$
Studiare la funzione
$f(x)=g(x^3-x)$
Mi viene intuitivo pensare che il valore più piccolo dell'esponensiale di e è per n=0 se y>0 e +oo se y<0 ma come mi devo comportare dopo per studiare la seconda funzione? Probabilmente è banale ma ho parecchi dubbi...
Divido i due casi? Ho fatto dei conti mentali e il grafico risulterebbe un pò strano come se fossero due costanti rispettivamente per x^3-x<0 e x^3-x>0...
I dubbi mi vengono soprattutto nel secondo esercizio in cui la cosa si complica...
Posto per ogni x $in$ R
$g(x)=$inf${n in reali positivi, n | x/n in [-2:2]}$
Studiare la funzione
$f(x)=2g(x)(e^x-4)$
Vi ringrazio anticipatamente per il prezioso aiuto!
Risposte
Nel primo esercizio la funzione sarebbe f(x)= e^[n(x^3-x)], giusto? Per trovare l'estremo inferiore basta derivare rispetto ad x e trovare il minimo.
Ma quindi basta studiare la funzione $f(x)=e^(x^3-x)$ ?? Facendo i calcoli ottengo un valore del minimo ma non so perchè credo di sbagliare qualcosa. Poi facendo così a questo punto non capisco che senso ha definire la g(x) con quel termine in "n" visto che a prescindere l'estremo inferiore della funzione è zero.
Io avevo pensato ad un altro sistema cioè facendo $x^3-x>0$ e le soluzioni di questa disequazione daranno i termini per cui la f(x) ha valore 1 altrimenti si assume valore 0 quindi esce un grafico che salta da 1 a 0 a seconda se $x^3-x$ è positiva o negativa...
E' corretto come ragionamento?
Ma poi nel caso del secondo esercizio come devo fare?
Io avevo pensato ad un altro sistema cioè facendo $x^3-x>0$ e le soluzioni di questa disequazione daranno i termini per cui la f(x) ha valore 1 altrimenti si assume valore 0 quindi esce un grafico che salta da 1 a 0 a seconda se $x^3-x$ è positiva o negativa...
E' corretto come ragionamento?
Ma poi nel caso del secondo esercizio come devo fare?
up
".Dev.":
Io avevo pensato ad un altro sistema cioè facendo $x^3-x>0$ e le soluzioni di questa disequazione daranno i termini per cui la f(x) ha valore 1 altrimenti si assume valore 0 quindi esce un grafico che salta da 1 a 0 a seconda se $x^3-x$ è positiva o negativa...
E' corretto come ragionamento?
Corretto.
Per quanto riguarda la seconda, basta notare che:
(*) $\quad g(x)=\{( x/2, " se " x>0),( 0, " se " x=0),( -x/2, " se " x<0):}$
ossia $g(x)=1/2|x|$, e procedere come nel caso precedente. Per determinare l'assegnazione (*) puoi aiutarti con un disegno: infatti, fissato $x>0$ [risp. $x<0$], il grafico della funzione $n\mapsto x/n$ è un ramo d'iperbole nel primo [risp. nel quarto] quadrante e che la condizione "$n\in RR^+ : x/n in [-2,2]$" impone di determinare i valori di $n$ per i quali i corrispondenti punti sul grafico di $n\mapsto x/n$ si trovino nella semistriscia $RR^+\times [-2,2]$
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