Insieme esistenza 2!conferma svolgimento !
Testo :$f(x)=log[2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}]$
$log[2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}]>0$
$[2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}]>0$
$[(1/2)^-x > (1/2)^{sqrt(x^2-1)}]$
$-x > {sqrt(x^2-1)}$
$ -{sqrt(x^2-1)}
$\{(x^2-1>=0),(x>0),(-sqrt(x^2-1)<(x)^2):}$
$\{(x<=-1uux>=1),(x>0),(x^2-1)<(x^2):}$
per cui Insieme di Esistenza è : [1, + infinito[
la risposta è giusta voglio sapere se è corretto lo svolgimento ??? grazie in anticipo a tutti !!
$log[2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}]>0$
$[2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}]>0$
$[(1/2)^-x > (1/2)^{sqrt(x^2-1)}]$
$-x > {sqrt(x^2-1)}$
$ -{sqrt(x^2-1)}
$\{(x^2-1>=0),(x>0),(-sqrt(x^2-1)<(x)^2):}$
$\{(x<=-1uux>=1),(x>0),(x^2-1)<(x^2):}$
per cui Insieme di Esistenza è : [1, + infinito[
la risposta è giusta voglio sapere se è corretto lo svolgimento ??? grazie in anticipo a tutti !!
Risposte
Appunti:
1. E' l'argomento del logaritmo che deve essere posto positivo, non tutto il logaritmo. Hai iniziato male ma poi sei andato avanti giusto, mah!
2. Nella terza riga dello svolgimento, quando arrivi a $-x>\sqrt{x^2-1}$, hai sbagliato. Dato che la base della potenza è minore di 1, quando si fa questo passaggio il segno di diseguaglianza deve essere invertito.
3. Manca la condizione sull'argomento della radice.
Detto tutto ciò, se sei arrivato alla giusta soluzione è stato un caso. Prova a rifare.
Paola
1. E' l'argomento del logaritmo che deve essere posto positivo, non tutto il logaritmo. Hai iniziato male ma poi sei andato avanti giusto, mah!
2. Nella terza riga dello svolgimento, quando arrivi a $-x>\sqrt{x^2-1}$, hai sbagliato. Dato che la base della potenza è minore di 1, quando si fa questo passaggio il segno di diseguaglianza deve essere invertito.
3. Manca la condizione sull'argomento della radice.
Detto tutto ciò, se sei arrivato alla giusta soluzione è stato un caso. Prova a rifare.
Paola
allora : $f(x)=log[2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}]$
$2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}>0$ argomento del log >0 ,
$2^x > (1/2)^{sqrt(x^2-1)}$
$(1/2)^-x>(1/2)^{sqrt(x^2-1)}$
$-x
$\{(-x<0),(x^2-1>=0):}$ $rArr$ , $\{(x>0),(x<=-1 uu x>=1):}$ S= [1,+ infinito [
$\{(-x>=0),((-x)^2-x^2-1>0):}$ $rArr$ , $\{(x<=0),(1<0):}$
il secondo sistema mi da la soluzione ]-infin, 0] .......perchèè????? dove è l'errore??
$2^x-(1/2)^{sqrt(x^2-1)}>0$ argomento del log >0 ,
$2^x > (1/2)^{sqrt(x^2-1)}$
$(1/2)^-x>(1/2)^{sqrt(x^2-1)}$
$-x
$\{(-x<0),(x^2-1>=0):}$ $rArr$ , $\{(x>0),(x<=-1 uu x>=1):}$ S= [1,+ infinito [
$\{(-x>=0),((-x)^2-x^2-1>0):}$ $rArr$ , $\{(x<=0),(1<0):}$
il secondo sistema mi da la soluzione ]-infin, 0] .......perchèè????? dove è l'errore??
L'errore è che nel costruire i sistemi ti sei perso per strada la condizione $-x<\sqrt{x^2-1}$.
Paola
Paola
scusa Paola ,ma nn riesco a capire ho costruito i 2 sistemi secondo le regole ,illuminami!!
I sistemi sono
1.$\{(-x\geq 0),(x^2-1\geq 0),((-x)^2 < x^2-1):}$ (ho già elevato al quadrato nell'ultima condizione)
2.$\{(-x<0),(x^2-1\geq 0),(-x<\sqrt{x^2-1}):}$ qui l'ultima condizione è sempre vera perché una radice è certamente sempre maggiore di un numero negativo. Quindi il sistema si riduce a
$\{(-x<0),(x^2-1\geq 0):}$
La condizione $x^2-1\geq 0$ viene dalle condizioni di esistenza per la radice.
Paola
1.$\{(-x\geq 0),(x^2-1\geq 0),((-x)^2 < x^2-1):}$ (ho già elevato al quadrato nell'ultima condizione)
2.$\{(-x<0),(x^2-1\geq 0),(-x<\sqrt{x^2-1}):}$ qui l'ultima condizione è sempre vera perché una radice è certamente sempre maggiore di un numero negativo. Quindi il sistema si riduce a
$\{(-x<0),(x^2-1\geq 0):}$
La condizione $x^2-1\geq 0$ viene dalle condizioni di esistenza per la radice.
Paola
premetto che dal libro dove ho studiato , non mi da questo tipo di regola cmq :
la soluzione del 1 sistema è : ]-inf , -1 ]
la soluzione del 2 sistema è : [1, + infit[
la soluzione finale : S1 U S2 che risulta diversa dal quella posta dall'esercizio ..ovvero [1, + inf[
grazie mille paola sei il mio mentore !
la soluzione del 1 sistema è : ]-inf , -1 ]
la soluzione del 2 sistema è : [1, + infit[
la soluzione finale : S1 U S2 che risulta diversa dal quella posta dall'esercizio ..ovvero [1, + inf[
grazie mille paola sei il mio mentore !
In generale a volte capita che devi dividere un problema in casi. In questa situazione specifica volevi elevare al quadrato ma questo è possibile solo quando entrambi i membri sono positivi. Da una parte hai una radice, quindi ok, ma su $-x$ non sai niente: ecco perché si deve dividere in casi. Inoltre alla fine si uniscono le soluzioni dei singoli casi per ottenere quella definitiva.
Paola
Paola
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