Insieme di numeri complessi
Si consideri nel piano di Gauss l' insieme $ E={ x+iy in CC :sin( 1 / |2x+iy| )=0 } $
Ora dovrei determinare l'isieme dei punti di accumulazione e l' insieme dei punti interni per E e per il complementare di E. In fine dovrei dire se E è limitato e se è chiuso.
Io so che un punto è di acc. se ogni suo intorno contiene almeno un punto di E e che un punto è interno se esiste un suo intorno che è un sottoinsieme di E. Di solito per trovare questi punti e i relativi insiemi mi faccio il grafico dell' insieme dato. In questo caso direi che l'insieme E è formato da tutti i punti in cui il seno è 0. Qui però non lo so fare dato che mi trovo nel campo complesso e l' argomento del seno ha questa "strana" forma. Per intuito mi verrebbe da dire che l' insieme dei punti di acc. è l'insieme vuoto perché se prendo un intorno infinitamente piccolo non ci dovrebbero essere punti di E al suo interno. L' insieme dei punti interni invece è l'inisieme stesso.
Ora, se il mio ragionamento fosse esatto applicando il teorema di Bolzano-Weierstrass che dice che se un insieme è limitato allora ha almeno un punto di acc., potrei dire che l'insieme E non è limitato.
Per dire se E è chiuso e per analizzare il complementare di E non ho idea da dove iniziare un ragionamento.
Ringrazio chiunque vorrà confermare o piuttosto smentire le mie affermazioni dato che non sono per niente sicuro che quelle poche cose che ho detto siano giuste.
Ora dovrei determinare l'isieme dei punti di accumulazione e l' insieme dei punti interni per E e per il complementare di E. In fine dovrei dire se E è limitato e se è chiuso.
Io so che un punto è di acc. se ogni suo intorno contiene almeno un punto di E e che un punto è interno se esiste un suo intorno che è un sottoinsieme di E. Di solito per trovare questi punti e i relativi insiemi mi faccio il grafico dell' insieme dato. In questo caso direi che l'insieme E è formato da tutti i punti in cui il seno è 0. Qui però non lo so fare dato che mi trovo nel campo complesso e l' argomento del seno ha questa "strana" forma. Per intuito mi verrebbe da dire che l' insieme dei punti di acc. è l'insieme vuoto perché se prendo un intorno infinitamente piccolo non ci dovrebbero essere punti di E al suo interno. L' insieme dei punti interni invece è l'inisieme stesso.
Ora, se il mio ragionamento fosse esatto applicando il teorema di Bolzano-Weierstrass che dice che se un insieme è limitato allora ha almeno un punto di acc., potrei dire che l'insieme E non è limitato.
Per dire se E è chiuso e per analizzare il complementare di E non ho idea da dove iniziare un ragionamento.
Ringrazio chiunque vorrà confermare o piuttosto smentire le mie affermazioni dato che non sono per niente sicuro che quelle poche cose che ho detto siano giuste.
Risposte
Io partirei cercando di capire meglio come è fatto questo insieme E .
Dato che $|2x+iy|=sqrt(4x^2+y^2)$ da cui si ha $ sin(1/(sqrt(4x^2+y^2)))=0 $ che risolta fornisce:
$ 1/(sqrt(4x^2+y^2))= k pi; k in ZZ$
Elevando al quadrato si ottiene $1/(4x^2+y^2)= k^2 pi^2$
Se $k=0 $ l'insieme E è vuoto, allora per $k ne 0 $ invertendo ottengo
$4x^2+y^2= 1/(k^2 pi^2)$ che è l'equazione di una, anzi di infinite ellissi che riscrivo
$ x^2/(1/(2kpi)^2)+y^2/(1/(kpi)^2) =1 $
ellissi che sono sempre più "piccole" al crescere di $k $ ,a nzi per $ k rarr +-oo $ l'insieme E si dissolve.
Dato che $|2x+iy|=sqrt(4x^2+y^2)$ da cui si ha $ sin(1/(sqrt(4x^2+y^2)))=0 $ che risolta fornisce:
$ 1/(sqrt(4x^2+y^2))= k pi; k in ZZ$
Elevando al quadrato si ottiene $1/(4x^2+y^2)= k^2 pi^2$
Se $k=0 $ l'insieme E è vuoto, allora per $k ne 0 $ invertendo ottengo
$4x^2+y^2= 1/(k^2 pi^2)$ che è l'equazione di una, anzi di infinite ellissi che riscrivo
$ x^2/(1/(2kpi)^2)+y^2/(1/(kpi)^2) =1 $
ellissi che sono sempre più "piccole" al crescere di $k $ ,a nzi per $ k rarr +-oo $ l'insieme E si dissolve.
sicuramente è chiuso in quanto luogo di zeri di una funzione continua.
poi per la limitatezza ti consiglio di prendere in considerazione particolari numeri complessi...ad esempio i reali,
quindi nel tuo insieme ci sono sicuramente gli $x\in RR$ tali che $\sin(1/|2x|)=0$.
e questo ti può aiutare sulla limitatezza.
poi per la limitatezza ti consiglio di prendere in considerazione particolari numeri complessi...ad esempio i reali,
quindi nel tuo insieme ci sono sicuramente gli $x\in RR$ tali che $\sin(1/|2x|)=0$.
e questo ti può aiutare sulla limitatezza.
"miuemia":
sicuramente è chiuso in quanto luogo di zeri di una funzione continua.
E no, non te ne puoi uscire così. La funzione \(\sin(1/(\lvert 2x+iy\rvert))\) ha una singolarità in \(0\), dove non è nemmeno definita. Quindi non è vero che essa è continua su tutto \(\mathbb{C}\). Difatti, dalla descrizione intuitiva che ci fornisce Camillo, l'insieme \(E\) non è chiuso, perché si accumula intorno a \(0\) e \(0 \notin E\).
Quindi c'è soltanto un punto di acc. che è 0? L' insieme dei punti interni è l' insieme stesso?
L' insieme E è limitato perché il suo diametro è minore di $ +oo $. Se $ k != 0 $ ho queste ellissi che diventano sempre più piccole, quindi prendendo $ k=1 $ dovrei avere quella più grande nella quale è contenuto tutto E e quindi posso dire che E è limitato. Giusto?
L' insieme E è limitato perché il suo diametro è minore di $ +oo $. Se $ k != 0 $ ho queste ellissi che diventano sempre più piccole, quindi prendendo $ k=1 $ dovrei avere quella più grande nella quale è contenuto tutto E e quindi posso dire che E è limitato. Giusto?
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