Insieme di livello

[gcan]

Si consideri la funzione $ f(x,y)=sqrt (-x^2-y^2) log(y-x) $
Come faccio a determinare l'insieme di livello 0 della funzione?

[Plepp]

Non si capisce cos'è che sta sotto la radice La funzione è
\[f(x,y)=\sqrt{-x^2-y^2}\ln(y-x)\]
(che non è definita in alcun punto) o
\[f(x,y)=\sqrt{-x^2-y^2\ln(y-x)}\]
?

[gcan]

Oh scusa, prima del -x^2 c'è un 4, comunque la prima =)

[Plepp]

Cioè sotto radice c'è $(4-x^2-y^2)$, giusto?

L'insieme di livello $k\in\RR$ di una funzione $f:RR^2\to RR$ è
\[I_k:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,|\, f(x,y)=k\}\]
quindi niente di meno che $f^{-1}(\{k\})$.

Nel nostro caso:
\[I_0=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,|\, \sqrt{4-x^2-y^2}\ln(y-x)=0\}=\\
=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,|\, \sqrt{4-x^2-y^2}=0\vee \ln(y-x)=0\}=\\
=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,|\, x^2+y^2=4 \vee y-x=1\}\cap \text{Dom} f=\\
=\left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,|\, x^2+y^2=4\}\cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\,|\, y-x=1\}\right)\cap \text{Dom} f\]
Penso ti sarà semplice immaginarlo, o quantomeno rappresentarlo

[gcan]

Grazie mille =)