Insieme di differenziabilità in due variabili

[JimmyBrighy]

Buongiorno
Volevo chiedere delucidazioni su un tipo di problema, cioè quando mi viene chiesto di trovare l'insiseme dei punti in $RR^2$ in cui una funzione a due variabili è differenziabile. Sono familiare con lo studio della differenziabilità in un dato punto ma mi chiedevo se ci fosse un procedimento generale da seguire anche per questo tipo di problema.

Nello specifico il mio esercizio chiede di trovare l'insieme di differenziabilità di: $f(x,y)=arctan(x^2y|3x+y-3|)$

Grazie mille in anticipo!

[Mephlip]

Ciao! Ci sono dei teoremi, simili a quelli sulla continuità, che garantiscono la differenziabilità delle funzioni a partire dalla differenziabilità delle funzioni elementari. Ossia: somma, prodotto, rapporto (dove il denominatore non nullo) e composizione di funzioni differenziabili è differenziabile. Quindi, tipicamente, una volta usati questi teoremi bisogna solo studiare i casi esclusi da questi teoremi.

[JimmyBrighy]

Ciao! Grazie della risposta, quindi una composizione di funzioni differenziabili è ancora differenziabile, a questo punto mi domando quali siano i "tipi" di funzione differenziabile. Correggimi se sbaglio ma immagino che ogni classe di funzioni (polnomi, trigonometriche ecc.) abbia le proprie particolarità di differenziabilità, ad esempio i polinomi sono differenziabili in tutto il loro dominio ($RR$ o $RR^2$) quindi mi devo chiedere quando la funzione arcotangente è differenziabile e "applicare" il risultato al mio polinomio nell'argomento (?)

[Mephlip]

Prego! Sostanzialmente segue dal teorema del differenziale totale, il quale afferma (in maniera sbrigativa, ti consiglio di seguire il tuo libro di testo per i dettagli) che: se le derivate parziali di $f$ esistono in un intorno di $(x_0,y_0)$ e sono continue in $(x_0,y_0)$, allora $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$. Quindi, dato che le funzioni elementari sono tutte derivabili parzialmente con derivate parziali continue (almeno nella parte interna dei loro domini naturali, situazione già presente anche nel caso unidimensionale: vedi ad esempio $\sqrt{x}$ che è definita in $[0,\infty)$ ma è derivabile in $(0,\infty)$), nella pratica uno stabilisce il dominio naturale, calcola le derivate parziali dove non ci sono problemi di derivabilità e, dove esse non presentano problemi di continuità, dalla continuità delle derivate parziali si deduce un "grande" insieme di differenziabilità. Poi, nei i punti "problematici" (nel tuo esempio c'è un modulo, e il modulo non è derivabile dove il suo argomento si annulla; quindi, nei punti in cui si annulla, devi procedere con la definizione di derivata parziale per calcolare, se esiste, la derivata parziale) si procede con la definizione di differenziabilità.

Comunque, occhio che $x^2 y |3x+y-3|$ non è un polinomio: c'è un modulo.