Insieme di definizione + massimo e minimo di una funzione
Ho queste due funzioni, devo trovare insieme di definizione + massimo e minimo
1) $f(x)=x^2*e^x$
per ogni $x$ appartenente a $R$
$f'(x)=2x*e^x+x^2*e^x$
$f'(x)=e^x(2x+x^2)$
massimo e minimo: $e^x(2x+x^2)>0$
$x>0$ è minimo $(0,0)$
2) $f(x)=x^3+x^2-x+1$
$f'(x)=3x^2+2x-1$
$3x^2+2x-1>0$
$(-oo,-1)$ e $(1/3,+oo)$
il dominio è per ogni $x$ appartenente ad $R$
quindi per $x=-1$ è minimo e per $x=1/3$ è un massimo, giusto?
1) $f(x)=x^2*e^x$
per ogni $x$ appartenente a $R$
$f'(x)=2x*e^x+x^2*e^x$
$f'(x)=e^x(2x+x^2)$
massimo e minimo: $e^x(2x+x^2)>0$
$x>0$ è minimo $(0,0)$
2) $f(x)=x^3+x^2-x+1$
$f'(x)=3x^2+2x-1$
$3x^2+2x-1>0$
$(-oo,-1)$ e $(1/3,+oo)$
il dominio è per ogni $x$ appartenente ad $R$
quindi per $x=-1$ è minimo e per $x=1/3$ è un massimo, giusto?
Risposte
Nel primo c'è un errore di concetto. per trovare i massimi e i minimi di una funzione tu devi porre la derivata prima uguale a zero. infatti ti sei perso un punto. [tex]f'(x)=0\Leftrightarrow (0,0)[/tex] e $(-2,4e^{-2})$
nel secondo oltre allo stesso errore ne hai fatto un altro. non è che alla $x$ minore corrisponde minimo. devi guardare il valore della funzione. infatti in $x=-1$ la funzione vale $2$ e in $x=1/3$ la funzione vale $22/27$ il che ti fa capire che sono rispettivamente massimo e minimo.
nel secondo oltre allo stesso errore ne hai fatto un altro. non è che alla $x$ minore corrisponde minimo. devi guardare il valore della funzione. infatti in $x=-1$ la funzione vale $2$ e in $x=1/3$ la funzione vale $22/27$ il che ti fa capire che sono rispettivamente massimo e minimo.
Ciao Fermat.
Ma porre la derivata prima uguale a $0$ non serviva per la ricerca di eventuali punti stazionari?
Io dal libro vedo che ci sono esempi nel quale riporta la derivata prima $>0$ ..... forse sono io che sbaglio.
Ma porre la derivata prima uguale a $0$ non serviva per la ricerca di eventuali punti stazionari?
Io dal libro vedo che ci sono esempi nel quale riporta la derivata prima $>0$ ..... forse sono io che sbaglio.
"clever":
Ciao Fermat.
Ma porre la derivata prima uguale a $0$ non serviva per la ricerca di eventuali punti stazionari?
Io dal libro vedo che ci sono esempi nel quale riporta la derivata prima $>0$ ..... forse sono io che sbaglio.
$f'(x)>0$ è la condizione che ti permette di studiare la crescenza e la decrescenza della funzione
$f'(x)=0$ è la condizione che ti fa trovare gli eventuali punti di massimo e/o di minimo (che sono detti anche punti stazionari o critici)
Per approfondire meglio il concetto riguardati il Teorema di Fermat (condizione necessaria) e la condizione sufficiente per la ricerca dei massimi e dei minimi di una funzione
@Lorin.
Capito ora.
Ho però una domanda, sempre inerente a questo topic.
Quando ad esempio ho una funzione come questa:
$f(x)=e^-x^2$
$f'(x)=-2*x*e^-x^2$
$-2*x*e^-x^2=0$
$x=0$ $y=e^0=1$
il punto $(0,1)$ come faccio a dire che è di massimo?
Se ci fosse stato il caso di due punti io vedevo la cordinata $y$ maggiore e potevo affermare direttamente quale era di minimo e quale di massimo, ma in questi casi che il punto che si trova con la derivata prima è solo uno, come faccio a dire di primo occhio che è di minimo o massimo?
Capito ora.
Ho però una domanda, sempre inerente a questo topic.
Quando ad esempio ho una funzione come questa:
$f(x)=e^-x^2$
$f'(x)=-2*x*e^-x^2$
$-2*x*e^-x^2=0$
$x=0$ $y=e^0=1$
il punto $(0,1)$ come faccio a dire che è di massimo?
Se ci fosse stato il caso di due punti io vedevo la cordinata $y$ maggiore e potevo affermare direttamente quale era di minimo e quale di massimo, ma in questi casi che il punto che si trova con la derivata prima è solo uno, come faccio a dire di primo occhio che è di minimo o massimo?
Devi studiare la crescenza e la descrescenza a prescindere dai passaggi di calcolo. Cioè poni la derivata prima maggiore di zero, in questo modo al cambiare della monotonia troverai punti di massimo e di minimo. Con la condizione "$f'(x)=0$ trovi solo i punti critici", ma non sai se sono di massimo o di minimo. Ti ripeto, questo procedimento su un libro di teoria è spiegato in modo più preciso e sicuramente con esempi esaustivi.
Senza che apri il libro di teoria, facendo gli esercizi ho provato a procedere come tu mi hai indicato.
Ebbene avendo solo un punto a disposizione, con solo i 'calcoli' non posso verificare nulla, invece ponendo la derivata maggiore di
$0$ capisco a destra di $0$ e a sinistra di $0$ cosa succede.
E' cosi giusto?
Ebbene avendo solo un punto a disposizione, con solo i 'calcoli' non posso verificare nulla, invece ponendo la derivata maggiore di
$0$ capisco a destra di $0$ e a sinistra di $0$ cosa succede.
E' cosi giusto?
Non proprio. In pratica per capire se un punto critico è di massimo o di minimo, allora non devi far altro che studiare la monotonia, cioè se la funzione cresce e poi descresce, allora significa che il punto in cui cambia la monotonia avrai un punto di massimo, se succede il viceversa avrai un punto di minimo.
PS
Il mio dire usa il libro è un consiglio per colmare tutte le lacune che hai, perchè qui sul forum ti possiamo aiutare, ma le spiegazioni che ti diamo ti possono servire fino in fondo solo nel momento in cui hai un pò di teoria alle spalle.
PS
Il mio dire usa il libro è un consiglio per colmare tutte le lacune che hai, perchè qui sul forum ti possiamo aiutare, ma le spiegazioni che ti diamo ti possono servire fino in fondo solo nel momento in cui hai un pò di teoria alle spalle.
Mi sono espresso malissimo!
Se prendo una funzione, dopo aver posto la derivata prima maggiore di $0$ devo studiare dove cresce e dove decresce
non devo vedere a sinistra e a destra di $0$, ho capito cosa volevi dirmi, mi è chiaro il concetto.
Sulla questione 'studiare la teoria' è un problema che mi porto da molto, affidandomi alle intuizioni e al ragionamento, e nel vedere esercizi e farli, ho sempre messo da parte la teoria, ma ora mi serve più che mai, e avete ragione su questo punto, e vi ringrazio che me lo ribadite sempre.
Se prendo una funzione, dopo aver posto la derivata prima maggiore di $0$ devo studiare dove cresce e dove decresce
non devo vedere a sinistra e a destra di $0$, ho capito cosa volevi dirmi, mi è chiaro il concetto.
Sulla questione 'studiare la teoria' è un problema che mi porto da molto, affidandomi alle intuizioni e al ragionamento, e nel vedere esercizi e farli, ho sempre messo da parte la teoria, ma ora mi serve più che mai, e avete ragione su questo punto, e vi ringrazio che me lo ribadite sempre.
Si e mi fa piacere che tu riconosca questo tuo "limite". Lo studio della teoria è di fondamentale importanza per un corretto uso di tutti i passaggi, alcuni dei quali "meccanici", ai fini di un corretto svolgimento degli esercizi.
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