Insieme di definizione (analisi 2)

indovina
1.Disegnare nel piano l’insieme di definizione delle seguenti funzioni a due variabili.
(a)$sqrt(xy-1)$
$(x,y)!=(0,0)$ (nn riesce il segno del 'diverso')
$xy-1>=0$
$xy=1$ $v$ $xy>1$
È la relazione di una iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, con $k>0$


(b) $Ln(x^2-y^2)$
$x^2-y^2>0$
$y^2 $y
(c)$Arcsin(x+y)$
$-1== -1$
Ovvero due rette che diventano $y=1-x$ e $y= -1-x$

(d) $Ln|(1/x)+(1/y)|$
$(x,y)!=(0,0)$
$(1/x)+(1/y)>0$
$(y-x)/(xy)>0$
Da cui: $y-x>0$ $y>x$
Invece se $xy=0$ segue che $x=0$ e $y=0$ soluzioni che non possono essere prese per l’esistenza dell’argomento del logaritmo, e perciò l’iperbole è ridotta all’unione dei due assi coordinanti.


l'immagine mostra i vari grafici.
http://img819.imageshack.us/img819/9444/grafici.jpg

sono giusti o tutti sbagliati? xD

Risposte
antani2
Il primo è giusto, ma devi specificare qual eparte del piano, quella"dentro" o fuori dall'iperbole? Nel tuo disegno sembrerebbe sbagliato come l'hai fatta...(Suppongo che il nero sia la parte che tu pensi sia il dominio)
Il secondo è sbagliato in ogni caso, fai un errore prima di passare all'ultimo passaggio della disequazione, in realtà il dominio è la parte di piano a destra e a sinistra nella croce formata dalle due rette y=x e y=-x;
IL terzo: ancora, il dominio non sono le due rette , ma la "striscia" di spazio delimitata da esse. Nel disegno comunque anche qua sembra che hai sbagliato...
Il quarto ancora hai sbagliato a risolvere la disequazione...I conti qua però son un pelino più noiosetti, ma alla fine ti viene come dominio 4o e 7o ottante e il 1o quadrante...prova (con ottante qua intendi un ottavo di piano, non di spazio ovviamente...)

gugo82
@clever: In mathML \$!=\$ e \$ne\$ producono il simbolo $!=$. Se usi LaTeX il comando \neq produce [tex]$\neq$[/tex].

indovina
"antani":
Il primo è giusto, ma devi specificare qual eparte del piano, quella"dentro" o fuori dall'iperbole? Nel tuo disegno sembrerebbe sbagliato come l'hai fatta...(Suppongo che il nero sia la parte che tu pensi sia il dominio)
Il secondo è sbagliato in ogni caso, fai un errore prima di passare all'ultimo passaggio della disequazione, in realtà il dominio è la parte di piano a destra e a sinistra nella croce formata dalle due rette y=x e y=-x;
IL terzo: ancora, il dominio non sono le due rette , ma la "striscia" di spazio delimitata da esse. Nel disegno comunque anche qua sembra che hai sbagliato...
Il quarto ancora hai sbagliato a risolvere la disequazione...I conti qua però son un pelino più noiosetti, ma alla fine ti viene come dominio 4o e 7o ottante e il 1o quadrante...prova (con ottante qua intendi un ottavo di piano, non di spazio ovviamente...)



E' vero, avrei dovuto essere più chiaro e chiarire cosa fosse per me il nero.
No, il nero è la parte che non mi interessa, cioè quella dove non c'è il dominio.

Dunque, il primo va bene.
Per il secondo, hai ragione, a lezione la prof ha spiegato di fare prima l'uguaglianza cioè: $y=x$ e $y=-x$ e poi 'togliere' le parti che non ci interessano secondo la diseguaglianza $y
Il terzo: per me il dominio è dove non c'è il nero. Dunque credo vada bene.

Il quarto: il punto $(0,0)$ non ci deve essere, e spero che qui non abbia sbagliato.
Non capisco cosa ho sbagliato xD, sarà una banalità. Vediamo, io ho un argomento di un logaritmo che è in modulo e devo porlo maggiore di $0$.
Dov è lo sbaglio?
Grazie per i suggerimenti.

antani2
il terzo è ok, se intendi come hai detto che il nero è dove non è il dominio.

L'ultimo abbiamo detto una belinata tutti e due. Poichè non ho visto che nel logaritmo c'è il MODULO...Quindi l'uguaglianza $|1/x+1/y|>0$è soddisfatta per ogni $(x,y)!=(0,0)$...perciò il dominio è tutto $mathbb{R}^2-{(0,0)}$

Facciamo finta che il modulo non ci sia stato...
Allora sarebbe stata una banale disequazione... $1/x+1/y>0$
$(x+y)/(xy)>0$ (e qua c'è il tuo primo errore perchè avevi sbagliato un segno)


Ora non puoi studiare l'equaglianza a 0 e basta, devi studiare anche il segno del denominatore...Come nelle solite disequazioni frazionarie che si fanno al liceo... In questo caso quindi trovi dove $xy>0$ e dove $x+y>0$ e poi studi i duer segni insieme, tenendo conto che anche quando entrambi son negativi ti va bene, perchè - diviso - fa +

indovina
"antani":
il terzo è ok, se intendi come hai detto che il nero è dove non è il dominio.

L'ultimo abbiamo detto una belinata tutti e due. Poichè non ho visto che nel logaritmo c'è il MODULO...Quindi l'uguaglianza $|1/x+1/y|>0$è soddisfatta per ogni $(x,y)!=(0,0)$...perciò il dominio è tutto $mathbb{R}^2-{(0,0)}$

Facciamo finta che il modulo non ci sia stato...
Allora sarebbe stata una banale disequazione... $1/x+1/y>0$
$(x+y)/(xy)>0$ (e qua c'è il tuo primo errore perchè avevi sbagliato un segno)


Ora non puoi studiare l'equaglianza a 0 e basta, devi studiare anche il segno del denominatore...Come nelle solite disequazioni frazionarie che si fanno al liceo... In questo caso quindi trovi dove $xy>0$ e dove $x+y>0$ e poi studi i duer segni insieme, tenendo conto che anche quando entrambi son negativi ti va bene, perchè - diviso - fa +


dunque l'ultimo senza il valore assoluto si riduce all'unione di due sistemi:
$x+y>0$
$xy>0$

e
$x+y<0$
$xy<0$

giusto?

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