Insieme di definizione a due variabili
Buongiorno a tutti. Ho dei grossi dubbi su come disegnare i grafici di alcuni insiemi di definizione. Alcuni sono semplici e subito riesco a capirli, altri invece rimango un po' titubante (forse perché non ci hanno mai insegnato praticamente come si fa, solo chiacchiere).
Comunque, posto alcuni esempi:
$1$ Se ho un insieme del tipo $D={(x,y): y<=x}$, qual è la parte del piano cartesiano che devo prendere?
$2$ $D={(x,y): x^2<=y^2}$. In questo caso come devo ragionare per disegnare il grafico dell'insieme in questione?
$3$ $D={(x,y): y>=0, x^2-y^2<=0, x^2-y-4<=0}$.
Per quanto riguarda quest'ultimo so che bisogna fare innanzitutto i grafici di ogni disequazione presente nell'insieme e poi l'intersezione dei vari insiemi di definizione. Così da ottenere il grafico complessivo.
Alcuni sono facili da risolvere perché si vedono ad occhio, ma altri non riesco a capire che ragionamento devo fare per disegnarli... (ad esempio per il $2$)
Grazie anticipatamente a chi mi darà una mano.
Se avete anche degli altri esempi, magari più complessi oppure di trigonometria sono ben accetti.
Comunque, posto alcuni esempi:
$1$ Se ho un insieme del tipo $D={(x,y): y<=x}$, qual è la parte del piano cartesiano che devo prendere?
$2$ $D={(x,y): x^2<=y^2}$. In questo caso come devo ragionare per disegnare il grafico dell'insieme in questione?
$3$ $D={(x,y): y>=0, x^2-y^2<=0, x^2-y-4<=0}$.
Per quanto riguarda quest'ultimo so che bisogna fare innanzitutto i grafici di ogni disequazione presente nell'insieme e poi l'intersezione dei vari insiemi di definizione. Così da ottenere il grafico complessivo.
Alcuni sono facili da risolvere perché si vedono ad occhio, ma altri non riesco a capire che ragionamento devo fare per disegnarli... (ad esempio per il $2$)
Grazie anticipatamente a chi mi darà una mano.
Se avete anche degli altri esempi, magari più complessi oppure di trigonometria sono ben accetti.
Risposte
"Lord Rubik":
(forse perché non ci hanno mai insegnato praticamente come si fa, solo chiacchiere).
Questa frase non mi piace per niente! non te ne faccio una colpa: troppo spesso si sentono studenti che si lamentano perchè a loro dire "gli insegnanti di matematica non hanno spiegato" e frasi equivalenti. Lo studente ha il dovere di essere autonomo nel ragionamento e non aspettare sempre la soluzione altrimenti facilmente si troverà in imbarazzo in situazioni anche troppo semplici.
"Lord Rubik":
Comunque, posto alcuni esempi:
$1$ Se ho un insieme del tipo $D={(x,y): y<=x}$, qual è la parte del piano cartesiano che devo prendere?
Quella dove il valore della x è maggiore o uguale a quello della y proprio come hai scritto; se vuoi tradurre l'informazione con un grafico devi tracciare la bisettrice del primo e terzo quadrante e considerare (colorare, tratteggiare...) il semipiano che contiene il semiasse positivo delle ascisse e il semiasse negativo delle ordinate, "quello sotto" per intenderci. Puoi controllare autonomamente la validità del ragionamento scegliendo a caso un elemento appartenente al semipiano $P(3;0)$ e verificare che il valore della x è maggiore o uguale al valore della y.
Grazie, ho capito. Per quanto riguarda il numero $2$ come devo fare? Qual ' è il ragionamento da eseguire?
Devi provare prima tu, non aver paura di sbagliare: ti aiuto volentieri ma cerca di buttare là qualche idea tua.
Allora ... è più facile di quanto non sembri, proviamo insieme a rispondere alla domanda:
D. "quando il quadrato di x è minore o uguale al quadrato di y?"
R. "qundo il valore assoluto di x è minore o uguale al valore assoluto di y!"
Proviamo a vedere la questione quadrante per quadrante:
I QUADRANTE: sia x che y sono entrambi positivi quindi il valore assoluto di x è minore o uguale al valore assoluto di y quando $x<=y$ quindi disegno la bisettrice e coloro l'angolo compreso tra la bisettrice e l'asse delle x, torna?
II QUADRANTE: ....
D. "quando il quadrato di x è minore o uguale al quadrato di y?"
R. "qundo il valore assoluto di x è minore o uguale al valore assoluto di y!"
Proviamo a vedere la questione quadrante per quadrante:
I QUADRANTE: sia x che y sono entrambi positivi quindi il valore assoluto di x è minore o uguale al valore assoluto di y quando $x<=y$ quindi disegno la bisettrice e coloro l'angolo compreso tra la bisettrice e l'asse delle x, torna?
II QUADRANTE: ....
Grazie per gli aiuti, ci sono arrivato da solo prima di vedere le vostre risposte (in questi giorni non ho avuto modo di collegarmi). Comunque sono riuscito a risolvere tutti gli esercizi in cui ho avuto difficoltà! Grazie lo stesso!!! 
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