Insieme di definizione
La traccia è questa: $(log[arcsin(x^2-3)])/(sqrt(x+2)-x)$
calcolo l'insieme di definizione $\mathbb{I}$ imponendo diverse condizioni:
$\{(arcsin(x^2-3)>0),(-1\leqx^2-3\leq1),(x+2\geq0),(sqrt(x+2)-x\ne0):}$ ottenendo come risultato $[-2;-sqrt(3))\cup(sqrt(3);2)$
Per quanto riguarda il segno, imposto che $\{(log[arcsin(x^2-3)]>0),(sqrt(x+2)-x>0):}$, ottengo:
1) $arcsin(x^2-3)>1\impliesx^2-3>1\impliesx^2-4>0\impliesx<-2\wedgex>2$;
2) $sqrt(x+2)>x\implies\{(x+2\geq0),(x<0):}\cup\{(x+2\geq0),(x>0),(x+2>x^2):}$ da cui $-2\leqx<2$;
E ho trovato che la funzione è negativa in $[-2;2)$. E qui arriva il dubbio: plottando la funzione su alcuni siti ho trovato che non è completamente negativa in quell'intervallo.. Ho sbagliato qualcosa?
calcolo l'insieme di definizione $\mathbb{I}$ imponendo diverse condizioni:
$\{(arcsin(x^2-3)>0),(-1\leqx^2-3\leq1),(x+2\geq0),(sqrt(x+2)-x\ne0):}$ ottenendo come risultato $[-2;-sqrt(3))\cup(sqrt(3);2)$
Per quanto riguarda il segno, imposto che $\{(log[arcsin(x^2-3)]>0),(sqrt(x+2)-x>0):}$, ottengo:
1) $arcsin(x^2-3)>1\impliesx^2-3>1\impliesx^2-4>0\impliesx<-2\wedgex>2$;
2) $sqrt(x+2)>x\implies\{(x+2\geq0),(x<0):}\cup\{(x+2\geq0),(x>0),(x+2>x^2):}$ da cui $-2\leqx<2$;
E ho trovato che la funzione è negativa in $[-2;2)$. E qui arriva il dubbio: plottando la funzione su alcuni siti ho trovato che non è completamente negativa in quell'intervallo.. Ho sbagliato qualcosa?
Risposte
I grafici plottati non sono uno strumento infallibile perchè ci sono spesso delle incongruenze e delle "sorprese" dovute alla "scala" e spesso anche a pecche formali che poi sfociano in letterali strafalcioni della macchina (pensa che il mio prof all'epoca di analisi1 mi fece vedere un plot di funzione in cui la funzione $1/x$ si presentava col suo solito grafico ma in più aveva una splendida retta verticale coincidente con l'asse delle y. Abbastanza spiacevole come cosa ). Di sicuro potrai notare addirittura che molte funzioni danno un grafico diverso da sito a sito.. Quindi.. Abbi fede nei tuoi strumenti e al massimo rivedi il calcolo nel dettaglio. Se fosse giusto e io (come qualsiasi altro matematico) ti dicessi "è giusto" ti resterebbe il germe del dubbio in merito al plotting, senza ricontrollare. Se fosse sbagliato e ti dicessi l'errore, non avresti progredito!
Quindi.. in ambo i casi in pratica non ti aiuterei
Quindi.. in ambo i casi in pratica non ti aiuterei
Quella retta di cui ti parlo in realtà era un semplice asintoto verticale..di certo quindi non è parte del GRAFICO della funzione!!
grazie wide87.. a me infatti basta solo sapere se il mio procedimento è corretto e, di conseguenza, anche i risultati
A me sembra tutto giusto, puoi procedere 
Grazie mille!
Ciao robe92
anche io ho seguito il tuo ragionamento e mi sembra corretto, al netto di errori di calcolo (non ho controllato), l'unica cosa: in x=-2, la funzione è definita ma non è negativa perchè vale 0, mi sbaglio?
anche io ho seguito il tuo ragionamento e mi sembra corretto, al netto di errori di calcolo (non ho controllato), l'unica cosa: in x=-2, la funzione è definita ma non è negativa perchè vale 0, mi sbaglio?
Ciao gio73! Comunque no, in $x=-2$ la funzione è definita e positiva e ha valore $(log(\pi/2))/2$, ovvero qualcosina in più di $0$.. Perciò mi sono posto questa domanda
Hai ragione! 
Allora devo fare il logaritmo dell'arco il cui seno è 1, allora l'arco il cui seno è 1 è giustamente $pi/2$
vediamo l'altro estremo se x tende a $-sqrt3$ allora devo calcolare il loraritmo dell'arco il cui seno è quasi 0, e anche quest'angolo vale quasi 0, di coseguenza il logaritmo tenderà a $-oo$
Dunque da qualche parte tra -2 e $-sqrt3$ la nostra funzione incontrerà l'asse delle x, dunque una parte della funzione sarà sopra l'asse delle x.
Sarà bene ricontrollare i calcoli precedenti, hai voglia di scriverli per esteso?
Allora devo fare il logaritmo dell'arco il cui seno è 1, allora l'arco il cui seno è 1 è giustamente $pi/2$
vediamo l'altro estremo se x tende a $-sqrt3$ allora devo calcolare il loraritmo dell'arco il cui seno è quasi 0, e anche quest'angolo vale quasi 0, di coseguenza il logaritmo tenderà a $-oo$
Dunque da qualche parte tra -2 e $-sqrt3$ la nostra funzione incontrerà l'asse delle x, dunque una parte della funzione sarà sopra l'asse delle x.
Sarà bene ricontrollare i calcoli precedenti, hai voglia di scriverli per esteso?
I limiti che ho fatto mi hanno riportato:
$lim_(x->-sqrt(3)^{-})(log[arcsin(x^2-3)])/(sqrt(x+2)-x)=-\infty$
$lim_(x->sqrt(3)^{+})(log[arcsin(x^2-3)])/(sqrt(x+2)-x)=-\infty$
$lim_(x->2^{-})(log[arcsin(x^2-3)])/(sqrt(x+2)-x)=+\infty$
Cercando intersezione con l'asse $x$ (ovviamente non esistono intersezioni con asse $y$) impongo che
$log[arcsin(x^2-3)]=0$
da cui ricavo che
$arcsin(x^2-3)=1\implies x^2-3=sin(1)\implies x=\pmsqrt(3+sin(1))= \pm 1.96$
Quindi la funzione intersecherà l'asse $x$ in $x_{1}=-1.96$ e $x_{2}=1.96$
Perciò correggo l'errore: la funzione non è tutta negativa in $[-2;2)$, ma alterna parti positive a parti negative:
$f(x)>0: [-2;-1.96)\cup(1.96;2)$;
$f(x)<0: (-1.96;1.96)$
$lim_(x->-sqrt(3)^{-})(log[arcsin(x^2-3)])/(sqrt(x+2)-x)=-\infty$
$lim_(x->sqrt(3)^{+})(log[arcsin(x^2-3)])/(sqrt(x+2)-x)=-\infty$
$lim_(x->2^{-})(log[arcsin(x^2-3)])/(sqrt(x+2)-x)=+\infty$
Cercando intersezione con l'asse $x$ (ovviamente non esistono intersezioni con asse $y$) impongo che
$log[arcsin(x^2-3)]=0$
da cui ricavo che
$arcsin(x^2-3)=1\implies x^2-3=sin(1)\implies x=\pmsqrt(3+sin(1))= \pm 1.96$
Quindi la funzione intersecherà l'asse $x$ in $x_{1}=-1.96$ e $x_{2}=1.96$
Perciò correggo l'errore: la funzione non è tutta negativa in $[-2;2)$, ma alterna parti positive a parti negative:
$f(x)>0: [-2;-1.96)\cup(1.96;2)$;
$f(x)<0: (-1.96;1.96)$
ed entrambi i valori stanno nell'insieme di definizione,
allora la nostra funzione è positiva per x<-1.96 e x>1.96
conferma quello che ti dice il plot?
Se sì, rivediamo lo studio del segno.
Nota a margine: io faccio fatica, mi distraggo, perdo i segni per strada, faccio errori di calcolo scemi come quello di prima...
allora per non fare troppi casini cerco più di un modo per dare la risposta, ad esempio calcoli algebrici controllati con il grafico, tu come ti regoli?
allora la nostra funzione è positiva per x<-1.96 e x>1.96
conferma quello che ti dice il plot?
Se sì, rivediamo lo studio del segno.
Nota a margine: io faccio fatica, mi distraggo, perdo i segni per strada, faccio errori di calcolo scemi come quello di prima...
allora per non fare troppi casini cerco più di un modo per dare la risposta, ad esempio calcoli algebrici controllati con il grafico, tu come ti regoli?
Ho corretto il segno della funzione (forse ti sarai persa il mio edit che risulta allo stesso orario del tuo ultimo post) e il plot del grafico conferma quello che ho detto.
[OT]
Non sei l'unica a commettere questi errori stupidi, anche a me capitano (tant'è che in quest'esercizio ne ho commesso uno, per superficialità). L'unica arma contro gli errori è la concentrazione (ora tu mi dirai "facile a dirsi"). Penso che a furia di sbatterci la testa si superi il problema, deve essere così
[/OT]
[OT]
Non sei l'unica a commettere questi errori stupidi, anche a me capitano (tant'è che in quest'esercizio ne ho commesso uno, per superficialità). L'unica arma contro gli errori è la concentrazione (ora tu mi dirai "facile a dirsi"). Penso che a furia di sbatterci la testa si superi il problema, deve essere così
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