Insieme di definizione
Salve, vi sarei grato se mi spiegaste in che parte del dominio è definita questa funzione:
$log(|x^2-2| - |x^2-6|)$
Risultato: R \ [-2,2]
$log(|x^2-2| - |x^2-6|)$
Risultato: R \ [-2,2]
Risposte
il logaritmo è $loga=b <=> e^b=a$. vedi che quindi $a$ è il risultato di una potenza che è sempre positiva,avendo la base positiva. quindi,per il dominio, a deve essere positivo. E quindi l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero. Si tratta quindi di risolvere $|x^2-2|>|x^2-6|$. Che potresti risolvere elevando ambo i membri ai quadrati ed eliminando i moduli!
"kekko89":
il logaritmo è $loga=b <=> e^b=a$. vedi che quindi $a$ è il risultato di una potenza che è sempre positiva,avendo la base positiva. quindi,per il dominio, a deve essere positivo. E quindi l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero. Si tratta quindi di risolvere $|x^2-2|>|x^2-6|$. Che potresti risolvere elevando ambo i membri ai quadrati ed eliminando i moduli!
Ecco è proprio l'ultima parte che mi crea dubbi. Cioè l'operazione con i moduli...Qlc sa essere più preciso o darmi qlc sito dove posso trovare questa proprietà dei moduli che non conoscevo? Poi inoltre la tua soluzione non mi sembra la più corretta, e non si ottiene il rusultato riportato dal prof
Grazie comunque
beh quell'operazione deriva proprio dalla definizione di logaritmo. L'esponente a cui alla base (del log) per ottenere l'argomento (del log).
"Lorin":
beh quell'operazione deriva proprio dalla definizione di logaritmo. L'esponente a cui alla base (del log) per ottenere l'argomento (del log).
??? scusami intendevo chiarimenti sull'elevamento al quadrato per eliminare i moduli..e non sul lagaritmo
elevi entrambi i membri al quadrato (essendo moduli sai che sono positivi per cui non hai problema di "aggiungere soluzioni"), poi semplifichi un po' di roba e ti viene $x^2>4$ quindi $|x|>2$ che corrisponde all'insieme $RR$ \ $[-2,2]$
se elevi al quadrato i membri della disequazione i moduli spariscono e rimani con una disequazione di 4° grado che puoi risolvere con la sostituzione x^2 -> t per ridurti ad una di 2° grado; così facendo devi risolvere 2-3 disequazioni.
altrimenti puoi togliere il valore assoluto discutendone il comportamento al variare di x e risolvere i casi separatamente; così devi risolvere una disequazione e 3 sistemi di 2 disequazioni.
anche io ti consiglio il primo metodo...
altrimenti puoi togliere il valore assoluto discutendone il comportamento al variare di x e risolvere i casi separatamente; così devi risolvere una disequazione e 3 sistemi di 2 disequazioni.
anche io ti consiglio il primo metodo...
"ledrox":
[quote="Lorin"]beh quell'operazione deriva proprio dalla definizione di logaritmo. L'esponente a cui alla base (del log) per ottenere l'argomento (del log).
??? scusami intendevo chiarimenti sull'elevamento al quadrato per eliminare i moduli..e non sul lagaritmo[/quote]
ah sorry
"alle.fabbri":
se elevi al quadrato i membri della disequazione i moduli spariscono e rimani con una disequazione di 4° grado che puoi risolvere con la sostituzione x^2 -> t per ridurti ad una di 2° grado; così facendo devi risolvere 2-3 disequazioni.
altrimenti puoi togliere il valore assoluto discutendone il comportamento al variare di x e risolvere i casi separatamente; così devi risolvere una disequazione e 3 sistemi di 2 disequazioni.
anche io ti consiglio il primo metodo...
Ragazzi scusate l'ingnoranza ma non mi riprendo. Qlc può per favore spiegarmi in modo dettagliato la risoluzione di questo esercizio?
Grazie ancora a tutti
senti, se vuoi provare con un metodo standard, anche se ci sono parecchi conti, segui il consiglio di kekko89:
scrivi $(x^2-2)^2-(x^2-6)^2>0$.
svolgi i calcoli, ti trovi le soluzioni in termini di $x^2$ e poi te le ricavi in termini di $x$.
io ti propongo l'altro metodo. ti studi i segni degli argomenti dei due moduli, così puoi liberarti dei moduli.
$x^2-2>=0$ se $x<=-sqrt(2) vv x>=sqrt(2)$
$x^2-6>=0$ se $x<=-sqrt(6) vv x>=sqrt(6)$
dunque, avendo suddiviso l'intervallo dei numeri reali in 5 parti: -oo,........,-rad(6),......,-rad(2),.........,+rad(2),.........+rad(6),............,+oo
per $x<=-sqrt(6) vv x>=sqrt(6)$
si ha $x^2-2-x^2+6>0$ ............
per $-sqrt(6)
per $-sqrt(2)<=x<=sqrt(2)$
si ha $2-x^2+x^2-6>0$ .......
come vedi, non c'è molto lavoro ancora da fare.
vedi tu come preferisci.
prova e facci sapere. ciao.
scrivi $(x^2-2)^2-(x^2-6)^2>0$.
svolgi i calcoli, ti trovi le soluzioni in termini di $x^2$ e poi te le ricavi in termini di $x$.
io ti propongo l'altro metodo. ti studi i segni degli argomenti dei due moduli, così puoi liberarti dei moduli.
$x^2-2>=0$ se $x<=-sqrt(2) vv x>=sqrt(2)$
$x^2-6>=0$ se $x<=-sqrt(6) vv x>=sqrt(6)$
dunque, avendo suddiviso l'intervallo dei numeri reali in 5 parti: -oo,........,-rad(6),......,-rad(2),.........,+rad(2),.........+rad(6),............,+oo
per $x<=-sqrt(6) vv x>=sqrt(6)$
si ha $x^2-2-x^2+6>0$ ............
per $-sqrt(6)
per $-sqrt(2)<=x<=sqrt(2)$
si ha $2-x^2+x^2-6>0$ .......
come vedi, non c'è molto lavoro ancora da fare.
vedi tu come preferisci.
prova e facci sapere. ciao.
ci sei che l'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di 0?
allora
$|x^2-2|-|x^2-6|>0$
$|x^2-2|>|x^2-6|$
elevi al quadrato primo e secondo membro semplicemente perchè con il quadrato sei certo che è una quantità positiva, e puoi fare a meno del valore assoluto, quindi
$(|x^2-2|)^2>(|x^2-6|)^2$
$x^4+4-4x^2>x^4+36-12x^2$
$-4x^2+12x^2>32$
$x^2>4$
$x>-2$ e $x<2$
allora
$|x^2-2|-|x^2-6|>0$
$|x^2-2|>|x^2-6|$
elevi al quadrato primo e secondo membro semplicemente perchè con il quadrato sei certo che è una quantità positiva, e puoi fare a meno del valore assoluto, quindi
$(|x^2-2|)^2>(|x^2-6|)^2$
$x^4+4-4x^2>x^4+36-12x^2$
$-4x^2+12x^2>32$
$x^2>4$
$x>-2$ e $x<2$
sì, è venuto particolarmente semplice così, ma hai invertito i simboli del risultato finale.
Grazie mille. Alla fine eseguendo ciò che avete detto ho risolto l'esercizio. In ogni caso approfondirò lo studio sui valori assoluti poichè è per quello che non riuscivo.....
Grazie ancora
Ciao
Grazie ancora
Ciao
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