Insieme di definizione
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Risposte
ci provo.
sai che il coseno assume valori in [-1,1], per cui arccos(t) ha come dominio t in [-1,1]. per il momento chiamo t la frazione (argomento dell'arcocoseno).
però la funzione arcocoseno assume valori in [0, pi], ma in f(x) è anche argomento del logaritmo, per cui dobbiamo considerare solo i valori positivi, escludendo eventualmente quei valori di t per cui arccos(t)=0, dunque, poiché cos(0)=1, dobbiamo escludere anche t=1.
tornando alla nostra funzione, dobbiamo imporre che la frazione abbia significato e che assuma un valore in [-1, 1). si tratta dunque di risolvere il sistema di disequazioni:
${[(x-2)/(x+3) >= -1],[(x-2)/(x+3) < 1] :}$, che comprende anche la condizione di esistenza $x != -3$.
spero sia chiaro. ciao.
sai che il coseno assume valori in [-1,1], per cui arccos(t) ha come dominio t in [-1,1]. per il momento chiamo t la frazione (argomento dell'arcocoseno).
però la funzione arcocoseno assume valori in [0, pi], ma in f(x) è anche argomento del logaritmo, per cui dobbiamo considerare solo i valori positivi, escludendo eventualmente quei valori di t per cui arccos(t)=0, dunque, poiché cos(0)=1, dobbiamo escludere anche t=1.
tornando alla nostra funzione, dobbiamo imporre che la frazione abbia significato e che assuma un valore in [-1, 1). si tratta dunque di risolvere il sistema di disequazioni:
${[(x-2)/(x+3) >= -1],[(x-2)/(x+3) < 1] :}$, che comprende anche la condizione di esistenza $x != -3$.
spero sia chiaro. ciao.
Senza nulla togliere all'ottima spiegazione di ada, volevo solo indicare il mio metodo. Io parto sempre dalla funzione piu' esterna, cosi' :
(ricordando i grafici delle funzioni $log$ e $arccos$)
l'argomento del $log$ deve essere sempre $>0$, quindi avro' $arccos((x-2)/(x+3))>0$;
ma $arccos$ e' positivo sempre, tranne nel punto $1$ e quindi avro' la condizione $-1<=(x-2)/(x+3)<1$
da qui, ottieni il sistema che ti ha proposto ada non dimenticando la condizione $x!=-3$ per non annullare il denominatore.
(ricordando i grafici delle funzioni $log$ e $arccos$)
l'argomento del $log$ deve essere sempre $>0$, quindi avro' $arccos((x-2)/(x+3))>0$;
ma $arccos$ e' positivo sempre, tranne nel punto $1$ e quindi avro' la condizione $-1<=(x-2)/(x+3)<1$
da qui, ottieni il sistema che ti ha proposto ada non dimenticando la condizione $x!=-3$ per non annullare il denominatore.
grazie del complimento.
è comunque la tua un'ottima integrazione.
non è completa, perché non hai ripetuto cose già dette, sull'arcocoseno, però fornisce un percorso lineare una volta che sono stati assimilati alcuni meccanismi.
spero che ledrox possa fare tesoro di entrambi gli interventi, ed anche di queste poche righe aggiunte qui.
ciao.
è comunque la tua un'ottima integrazione.
non è completa, perché non hai ripetuto cose già dette, sull'arcocoseno, però fornisce un percorso lineare una volta che sono stati assimilati alcuni meccanismi.
spero che ledrox possa fare tesoro di entrambi gli interventi, ed anche di queste poche righe aggiunte qui.
ciao.
Come mai avete antrambi escluso l'estremo sinistro, cioè la funzione arcoseno è definita come avete già scritto voi tra [-1,1] con gli enstremi entrambi compresi. Inoltre come ha detto giustamente forisco bisogna considerare anche l'argomento del logaritmo >0, la funzione arcos è sempre positiva? Perchè?? Inoltre vi sarei grato se arrivate ad una precisa soluzione, poichè svolgendo il sistema da voi scritto mi risulta che la funzione non è mai verificata. Possibile?
grazie ancora
Cordiali Saluti
grazie ancora
Cordiali Saluti
il punto "1" l'abbiamo escluso proprio perché siamo in presenza dell'argomento del logaritmo, che deve essere positivo. [-1,1] è l'intervallo di definizione dell'arcocoseno, ma come argomento del logaritmo c'è la funzione arcocoseno, e quindi i valori che essa assume, cioè l'intervallo [0,pi].
dovendo essere positivo, da [0,pi] togliamo solo lo 0 e consideriamo l'intervallo (0,pi].
la frazione, però, rappresenta i valori del coseno, quindi deve essere diversa da 1 perché il coseno di 0 è 1.
tieni conto che quando si parla di funzioni goniometriche inverse, già a monte è stata fatta una selezione di un intervallo in cui la funzione goniometrica è invertibile, per cui in tale intervallo e nella rispettiva immagine la funzione coseno e la sua inversa sono biunivoche.
la soluzione del sistema, se non ho sbagliato i conti, è $x in [-1/2, +oo)$.
ciao.
dovendo essere positivo, da [0,pi] togliamo solo lo 0 e consideriamo l'intervallo (0,pi].
la frazione, però, rappresenta i valori del coseno, quindi deve essere diversa da 1 perché il coseno di 0 è 1.
tieni conto che quando si parla di funzioni goniometriche inverse, già a monte è stata fatta una selezione di un intervallo in cui la funzione goniometrica è invertibile, per cui in tale intervallo e nella rispettiva immagine la funzione coseno e la sua inversa sono biunivoche.
la soluzione del sistema, se non ho sbagliato i conti, è $x in [-1/2, +oo)$.
ciao.
Ok...grazie mille ad entrambi
prego.
Confermando il risultato di ada e visto che sei ormai convinto delle nostre spiegazioni, ti illustro il procedimento (e' anche una scusa per migliorare la mia scrittura delle formule) :
${((x-2)/(x+3) >= -1),((x-2)/(x+3) < 1):}$
${((2x+1)/(x+3) >= 0),(-5/(x+3) < 0):}$
la condizione $x != -3$ la usero' implicitamente;
la prima equazione e' soddisfatta quando numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi o quando il num. e' nullo;
la seconda equazione e' soddisfatta solo quando il denominatore e' positivo (perche' ho gia' il numeratore sempre negativo);
quindi, dalla prima equazione ottengo $x < -3$ $uu$ $x >= -1/2$ e dalla seconda $x > -3$ e graficando tali risultati ottenuti si vede che la soluzione da' proprio ragione alla nostra brava ada : $x >= -1/2$
${((x-2)/(x+3) >= -1),((x-2)/(x+3) < 1):}$
${((2x+1)/(x+3) >= 0),(-5/(x+3) < 0):}$
la condizione $x != -3$ la usero' implicitamente;
la prima equazione e' soddisfatta quando numeratore e denominatore sono entrambi positivi o entrambi negativi o quando il num. e' nullo;
la seconda equazione e' soddisfatta solo quando il denominatore e' positivo (perche' ho gia' il numeratore sempre negativo);
quindi, dalla prima equazione ottengo $x < -3$ $uu$ $x >= -1/2$ e dalla seconda $x > -3$ e graficando tali risultati ottenuti si vede che la soluzione da' proprio ragione alla nostra brava ada : $x >= -1/2$
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