Insieme di crescita di una funzione, risultato ambiguo

[Baldur1]

$f(x) = e^(-2x) - e^(-4x)$.

La derivata prima è

$-2e^(-2x) + 4e^(-4x) >= 0 -> -2/e^(2x) + 4/e^(4x) >= 0$

Cambio variabile $t = e^(2x)$

$-2/t + 4/t^2 >= 0 -> - (2t + 4) / t^2 >= 0$

Ora, studiando questa disequazione fratta, con il numeratore non ho problemi, ma è con il denominatore, che ponendolo $t^2 > 0$, mi viene tutto $R$ tranne 0.

Ora, l'intervallo di crescita di questa funzione, dovrebbe essere $(-oo, ln2/2]$, a quanto dice il libro. Ma lo zero? Dove lo mettiamo? Il denominatore della disequazione fratta, ha detto chiaramente che è tutto l'insieme dei reali, TRANNE lo zero, e il risultato $(-oo, ln2/2]$, include lo zero, non dice affatto questo!

Io, avrei scritto $(-oo, ln2/2]$ tranne $0$, ma il libro mette l'altro risultato... ora, o ho sbagliato io a fare i calcoli... ma li ho ricontrollati più volte...

[Noisemaker]

scusa ma la funzione dov' è definita?

[Baldur1]

Per tutto R! la funzione è esponenziale...

[Noisemaker]

appunto, in $x=0$ quella funzione vale proprio $0$ , cioè passa per l'origine; quando studi la derivata prima, dopo un pò di calcoli elementari, arrivi ad una soluzione del tipo

\begin{align*}
e^{-2x}\le 0,\qquad \cup\qquad e^{-2x}\ge \frac{1}{2}
\end{align*}

e l'unione dell'insieme delle soluzioni di quelle due equazioni li ti danno l'insieme di dei punti in cui la funzione risulta crecente e decrescente; la prima delle due disequazioni non è mai verificata( perchè??) mentre la seconda è verificata per valori di $x$ tali che $x\le ln 2/2$, e dunque l'unione degli insiemi delle soluzioni di quelle due disequazioni è $x\le ln 2/2;$ allora per i valori di $x\in(-\infty; ln 2/2]$ la funzione risulta crescente, mentre per i valori $x\in[ln 2/2,+\infty)$ la funzione risulta decrescente; quindi puoi conludere che il punto $ x=ln 2/2$ è di massimo (assoluto) per la $f(x)$

[Baldur1]

Ok ma, quando arrivo nell'esercizio a dover risolvere la disequazione

$- (2t + 4) / t^2 >= 0$

come di solito si fa in una disequazione fratta, vado a porre Numeratore $>= 0$ e trovo come soluzione $x <= ln2/2$
poi vado a porre Denominatore $> 0$, ed è in questo caso che trovo come soluzione tutto $R$ tranne $0$.

Per cui, andando a studiare i segni nella tabella, avrò anche questo $0$ tra le soluzioni! E che come diceva il denominatore, deve essere escluso! Se scrivessi solo $(-oo, ln2/2]$, non direi che lo $0$ è escluso! Ma il contrario! Spero di essermi fatto capire...

Grazie

[Noisemaker]

in una disequazione fratta quando poni quelle (giuste) condizioni stai studiano il segno della frazione, quindi il numeratore è positivo per $x\le \ln2/2$ mentre i denominatore è positivo per ogni valore di $t$ .... dunque quella disequazione è risolta per $x\le \ln2/2$, perche per quei valori di $x$ la frazione risulta positiva ...

[Baldur1]

Lo sai perchè a me è venuto che $t^2 >= 0$ sia positivo per tutto R tranne lo $0$? Perchè io ho visto che il delta di $t^2 >= 0$ è uguale a 0, ed in questo caso, la soluzione è tutto $R$ tranne $(-b / (2a))$, e $(-b / (2a))$, è proprio $0$... e per questo quindi nella tabellina ho indicato anche lo $0$.... ma d'altronde, se stiamo parlando di una fratta, è normale che il denominatore sia diverso da zero... quindi come fa ad essere positivo per tutto $R$?

[Noisemaker]

stai studiando il segno ...non l'insieme di definizione

[Baldur1]

Eh ok, il segno mi dice allora che

N + 0 + ln2/2 -
D + 0 + ln2/2 +
_____________
R + 0 + ln2/2 -

Essendo il verso della disequazione $>=$, l'insieme delle soluzioni sarà uguale agli intervalli positivi, e cioè $(-oo, ln2/2]$, MA lo zero, il denominatore di quella disequazione fratta, mi aveva detto che era escluso dall'insieme dei reali! :/

[Noisemaker]

se la funzione fosse stata

\begin{align*}
g(x):=-\frac{2x+4}{x^2}
\end{align*}

avresti posto come dominio $\RR-\{0\};$ il segno avresti ottenuto $g(x)\ge 0\Leftrightarrow x\le-2$ e $g(x)\le0 Leftrightarrow x\ge-2$, il punto $x=0$ sta nell'intervallo in cui la funzione è negativa, e cosa vuol dire? che anche se in quel punto la funzione non esiste ( si comporterà come si comporterà intorno a $0,$ in particolare andrà a $-\infty$) sarà comunque negativa. Punto.

[laura1232]

puoi trovare la soluzione corretta anche pensado in questo modo:
risolvi la disequazione con $t$ ottenendo come soluzione $t<0 vv 0 $e^{2x}<0$ che non ha soluzioni e $0

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[Baldur1]

Non lo so ma ho un po' di confusione. $t^2 >= 0$ fa tutto R tranne l'unica soluzione, che è 0, appunto. Non capisco perchè in questo caso invece non debba essere considerato lo 0 escluso... perchè si considera unicamente il campo di esistenza della funzione iniziale? boh

Laura, t < 0 perchè?

[laura1232]

se risolvi la disequazione studiando il segno del numeratore e del denominatore ottieni:
$N>=0 $ se $t<=2$
$D>0$ se $t ne 0$
dal grafico dello studio del segno ottieni quello che ti ho scritto prima

[laura1232]

tu fai confusione tra il valore $0$ della $t$ e quello della $x$... lo zero che trovi riguarda $t$

[Baldur1]

Vero! Hai ragione, è quella la confusione che faccio. Il problema è che mentre nella soluzione del numeratore, ho saputo facilmente tornare alla soluzione di x, con il denominatore ho questa confusione. Una volta che ho trovato che $t^2 > 0$ è uguale a tutto R tranne 0, con questa soluzione ora, come faccio a tornare a $e^(2x)$?? è qui che ho il problema

[laura1232]

sei convinto che la soluzione della disequazione con $t$ è $t<0 vv 0

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[Noisemaker]

prova a studiare la disequazione senza la sostituzione e prova a vedere cosa succede