Insieme di convergenza serie di potenze
Buonasera a tutti, spero che qualcuno possa rispondere a questi dubbi che ho sulle serie di potenze:
1) E' sbagliato scrivere l'insieme di convergenza uniforme, di una serie di potenze, in questo modo:
$[-1,1)$ piuttosto che $[-1,k] , AA 0
(Mi è venuto questo dubbio perchè, in molti esercizi svolti, l'insieme di convergenza uniforme viene descritto nel secondo modo mentre, l'insieme di convergenza puntale, viene descritto nel primo modo).
2) Se la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, gli insiemi di convergenza puntale ed uniforme coincidono? O è proprio quel $0
Grazie anticipatamente a chi mi aiuterà
1) E' sbagliato scrivere l'insieme di convergenza uniforme, di una serie di potenze, in questo modo:
$[-1,1)$ piuttosto che $[-1,k] , AA 0
(Mi è venuto questo dubbio perchè, in molti esercizi svolti, l'insieme di convergenza uniforme viene descritto nel secondo modo mentre, l'insieme di convergenza puntale, viene descritto nel primo modo).
2) Se la convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, gli insiemi di convergenza puntale ed uniforme coincidono? O è proprio quel $0
Grazie anticipatamente a chi mi aiuterà
Risposte
1) Si, come hai intuito non sono la stessa cosa. Infatti, se consideri la serie di di potenze
\begin{equation}
s_n(x):=\sum_{i=0}^n x^i
\end{equation}
si dimostra che $s_n(x)$ converge puntualmente a $1/(1-x)$ per $x \in [0,1)$. È anche vero che per ogni $0\leq k<1$, si ha la convergenza uniforme della serie in ogni compatto della forma $[0,k]$, ma non è vero che si ha la convergenza uniforme in $[0,1)$. Infatti, esiste un teorema che dice che se una successione di funzioni è limitata in un dominio D e converge uniformemente ad una funzione, anche quest'ultima deve essere limitata nel dominio D. Nel nostro caso, le funzioni $s_n(x)$ sono limitate in $[0,1)$, quindi se convergono uniformemente a $1/(1-x)$ in $[0,1)$, quest'ultima deve essere limitata in questo dominio. Ma questo non è vero perché $\lim_{x\to 1^-} 1/(1-x) = +\infty$.
2) Ricorda che è solo la convergenza uniforme ad implicare la convergenza puntuale, il viceversa non è in generale vero. Puoi solo concludere che l'insieme di convergenza uniforme sarà incluso nell'insieme di convergenza puntuale.
\begin{equation}
s_n(x):=\sum_{i=0}^n x^i
\end{equation}
si dimostra che $s_n(x)$ converge puntualmente a $1/(1-x)$ per $x \in [0,1)$. È anche vero che per ogni $0\leq k<1$, si ha la convergenza uniforme della serie in ogni compatto della forma $[0,k]$, ma non è vero che si ha la convergenza uniforme in $[0,1)$. Infatti, esiste un teorema che dice che se una successione di funzioni è limitata in un dominio D e converge uniformemente ad una funzione, anche quest'ultima deve essere limitata nel dominio D. Nel nostro caso, le funzioni $s_n(x)$ sono limitate in $[0,1)$, quindi se convergono uniformemente a $1/(1-x)$ in $[0,1)$, quest'ultima deve essere limitata in questo dominio. Ma questo non è vero perché $\lim_{x\to 1^-} 1/(1-x) = +\infty$.
2) Ricorda che è solo la convergenza uniforme ad implicare la convergenza puntuale, il viceversa non è in generale vero. Puoi solo concludere che l'insieme di convergenza uniforme sarà incluso nell'insieme di convergenza puntuale.
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