Insieme di convergenza di una serie di potenze a termini complessi
Sperando di non abusare della vostra disponibilita', riporto un altro esercizio che mi ha messo in crisi.
Si tratta di trovare l'insieme di convergenza della seguente serie a termini complessi:
$ sum_(n = 0)^(+oo ) (-2)^n/((n+1)!)(n!x^(2(n+1)) + 2ix^-(n+1)) $
La mia idea e' di studiare separatamente la convergenza(in particolare, quella assoluta) della serie dei termini reali e quella dei termini complessi; l'insieme di convergenza della serie a termini complessi risultera' essere poi dato dall'intersezione degli insiemi di convergenza delle due.
Cosi' facendo, ottengo grazie al criterio del rapporto che la serie dei termini reali converge per $x in (-1/sqrt(2),1/sqrt(2))$; mentre per quella dei termini complessi, usando il criterio del rapporto, pervengo al seguente limite:
$ lim _(nrarr +oo )(2x^-1)/(n+2)=0 $ quando $ x!=0$
Ma l'insieme di convergenza dovrebbe essere un intervallo, quindi, assumendo che non abbia sbagliato i conti ( gia' riveduti piu' e piu' volte, ma cio' non lo esclude...), mi viene il dubbio che il mio modo di procedere sia sbagliato.
Grazie
G
Si tratta di trovare l'insieme di convergenza della seguente serie a termini complessi:
$ sum_(n = 0)^(+oo ) (-2)^n/((n+1)!)(n!x^(2(n+1)) + 2ix^-(n+1)) $
La mia idea e' di studiare separatamente la convergenza(in particolare, quella assoluta) della serie dei termini reali e quella dei termini complessi; l'insieme di convergenza della serie a termini complessi risultera' essere poi dato dall'intersezione degli insiemi di convergenza delle due.
Cosi' facendo, ottengo grazie al criterio del rapporto che la serie dei termini reali converge per $x in (-1/sqrt(2),1/sqrt(2))$; mentre per quella dei termini complessi, usando il criterio del rapporto, pervengo al seguente limite:
$ lim _(nrarr +oo )(2x^-1)/(n+2)=0 $ quando $ x!=0$
Ma l'insieme di convergenza dovrebbe essere un intervallo, quindi, assumendo che non abbia sbagliato i conti ( gia' riveduti piu' e piu' volte, ma cio' non lo esclude...), mi viene il dubbio che il mio modo di procedere sia sbagliato.
Grazie
G
Risposte
Probabilmente devi dimostrare che la funzione che ottieni e che ha senso per \(x\neq 0\) si estende ad una che e' definita anche in 0, e il cui valore e' il limite (se esiste finito, ma bisogna fare dei conti) della serie per \(x\to 0\). Nota infatti che $x=0$ e' fuori dal dominio della funzione che manda \(x\in\mathbb{R}\) in $ sum_(n = 0)^(+oo ) (-2)^n/((n+1)!)(n!x^(2(n+1)) + 2ix^-(n+1)) $.
Comunque, una osservazione al volo: non è strano che l'insieme di convergenza non sia un intervallo, visto che quella non è una serie di potenze. Compaiono potenze negative.
"dissonance":
Comunque, una osservazione al volo: non è strano che l'insieme di convergenza non sia un intervallo, visto che quella non è una serie di potenze. Compaiono potenze negative.
Grazie dell'osservazione. Quindi, l'insieme di convergenza che ho ottenuto potrebbe essere corretto dopo tutto.
"killing_buddha":
Probabilmente devi dimostrare che la funzione che ottieni e che ha senso per \( x\neq 0 \) si estende ad una che e' definita anche in 0, e il cui valore e' il limite (se esiste finito, ma bisogna fare dei conti) della serie per \( x\to 0 \). Nota infatti che $ x=0 $ e' fuori dal dominio della funzione che manda \( x\in\mathbb{R} \) in $ sum_(n = 0)^(+oo ) (-2)^n/((n+1)!)(n!x^(2(n+1)) + 2ix^-(n+1)) $.
Non sono sicuro di aver capito cosa intendi, mi spiace. L'esercizio chiede insieme di convergenza e somma della serie. Come userei l'eventuale estensione della funzione?
Grazie
G
Se non ho sbagliato qualche conto, ma è altamente probabile dato che li ho fatti in aeroporto, la somma della serie dovrebbe essere
\[
-\frac{1}{2}\ln 2x^2 - i (e^{2/x} - 1)
\]
la quale non è definita in x=0 (dato che la parte immaginaria non è limitata in nessun intorno di 0).
\[
-\frac{1}{2}\ln 2x^2 - i (e^{2/x} - 1)
\]
la quale non è definita in x=0 (dato che la parte immaginaria non è limitata in nessun intorno di 0).
Come ti è stato giustamente fatto notare, poi, l'insieme di convergenza di una serie di Laurent è una corona circolare.
"killing_buddha":
Se non ho sbagliato qualche conto, ma è altamente probabile dato che li ho fatti in aeroporto, la somma della serie dovrebbe essere
\[
-\frac{1}{2}\ln 2x^2 - i (e^{2/x} - 1)
\]
la quale non è definita in x=0 (dato che la parte immaginaria non è limitata in nessun intorno di 0).
Secondo i miei conti invece la serie somma a
$ 1/4ln(1+2x^2) +isin(2/x) $
che comunque non e' definita in x=0.
li provero' a rivedere piu' tardi a mente fresca, intanto grazie mille per la disponibilita', e buon viaggio/rientro!
Saluti
G
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo