Insieme di convergenza della serie complessa
Ho un dubbio atroce che mi attenaglia..
E' data questa serie complessa: $\sum_(n=0)^\infty\frac{(z-2i)^{2n}}{(-i)^{2n+1}e^-n(n^3+3)}$
Per trovare l'insieme di convergenza trovo vedo quanto vale il raggio di convergenza applico il criterio del rapporto sul coefficiente della serie $\frac{1}{(-i)^{2n+1}e^-n(n^3+3)}$ giusto?
In un'altro esericizo svolto dal professore però $\sum_(n=0)^\infty(1-i)^n(z+2i)^{2n+1}$ lui pone la serie come $(z-2i)\sum_(n=0)^\infty(1-i)^n(z+2i)^{2n} = (z-2i)\sum_(n=0)^\infty[(1-i)(z+2i)^2]^n$ siccome è una serie geometrica pone $w = [(1-i)(z+2i)^2]^n$ e si rifà alla serie geometrica calcolando poi l'insieme di convergenza sul modulo di w strettamente minore di 1.
Anche con la prima serie potevo rifarmi a w in qualche modo? come faccio a riconoscere la forma di una serie a cui posso applicare il secondo metodo di risoluzione?
E' data questa serie complessa: $\sum_(n=0)^\infty\frac{(z-2i)^{2n}}{(-i)^{2n+1}e^-n(n^3+3)}$
Per trovare l'insieme di convergenza trovo vedo quanto vale il raggio di convergenza applico il criterio del rapporto sul coefficiente della serie $\frac{1}{(-i)^{2n+1}e^-n(n^3+3)}$ giusto?
In un'altro esericizo svolto dal professore però $\sum_(n=0)^\infty(1-i)^n(z+2i)^{2n+1}$ lui pone la serie come $(z-2i)\sum_(n=0)^\infty(1-i)^n(z+2i)^{2n} = (z-2i)\sum_(n=0)^\infty[(1-i)(z+2i)^2]^n$ siccome è una serie geometrica pone $w = [(1-i)(z+2i)^2]^n$ e si rifà alla serie geometrica calcolando poi l'insieme di convergenza sul modulo di w strettamente minore di 1.
Anche con la prima serie potevo rifarmi a w in qualche modo? come faccio a riconoscere la forma di una serie a cui posso applicare il secondo metodo di risoluzione?
Risposte
Il criterio è solo quello di ridurre la serie data, se possibile, ad una serie di potenze. In entrambi gli esempi, il tuo prof. non fa altro che isolare la serie di potenze mettendo in evidenza un costante fattore moltiplicativo, o raggruppando potenze con esponente pari a $n$.
Nell'esercizio da te proposto applicherei il criterio della radice, noterai che il limite è quasi immediato. Poi hai la scelta se includere il numero di nepero in $w$, oppure lasciarlo lì, anche per l'altra potenza con esponente intero il ragionamento è identico, anzi, il numero immaginario $i$ se ne va col modulo. Puoi riconoscerne la forma quando hai delle potenze di $z$ con esponente intero che moltiplicano altre funzioni della variabile $n$.
Nell'esercizio da te proposto applicherei il criterio della radice, noterai che il limite è quasi immediato. Poi hai la scelta se includere il numero di nepero in $w$, oppure lasciarlo lì, anche per l'altra potenza con esponente intero il ragionamento è identico, anzi, il numero immaginario $i$ se ne va col modulo. Puoi riconoscerne la forma quando hai delle potenze di $z$ con esponente intero che moltiplicano altre funzioni della variabile $n$.
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