Insieme di Borel
Ho un insieme di Borel su [tex]B \subset \mathbb{R}[/tex]. devo provare che se ho [tex]\lambda \in \mathbb{R}_+[/tex] allora [tex]\lambda B[/tex] è un insieme di Borel.
Si sembra banale come esercizio ma non saprei come dimostrarlo... Ho pensato che se [tex]B=[a,b][/tex] (aperto o chiuso poco importa perchè la sigma-algebra di Borel è quella generata dagli aperti o dai chiusi tanto c'è sempre la proprietà di chiusura rispetto al complementare...) allora [tex]\lambda B=[\lambda a, \lambda b][/tex] che continua ad essere un chiuso contenuto nei reali che è uno spazio topologico, quindi continua ad essere un boreliano.
Se prendo anche un intervallo aperto di lunghezza infinita, tipo [tex]\[a,+\infty[[/tex] otterrei lo stesso risultato...
Ma questo è sufficiente per dimostrare questa congettura? se no, che manca?
Si sembra banale come esercizio ma non saprei come dimostrarlo... Ho pensato che se [tex]B=[a,b][/tex] (aperto o chiuso poco importa perchè la sigma-algebra di Borel è quella generata dagli aperti o dai chiusi tanto c'è sempre la proprietà di chiusura rispetto al complementare...) allora [tex]\lambda B=[\lambda a, \lambda b][/tex] che continua ad essere un chiuso contenuto nei reali che è uno spazio topologico, quindi continua ad essere un boreliano.
Se prendo anche un intervallo aperto di lunghezza infinita, tipo [tex]\[a,+\infty[[/tex] otterrei lo stesso risultato...
Ma questo è sufficiente per dimostrare questa congettura? se no, che manca?
Risposte
Credo si possa fare usando un argomento di approssimazione.
Io intanto propongo, se poi qualcun altro vuol dire la sua ben venga...
Come già hai stabilito, per ogni intervallo aperto [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] (ma in verità non importa se è aperto, chiuso, limitato, etc...) l'insieme [tex]$\lambda I$[/tex] è ancora un insieme dello stesso tipo e perciò un borelliano.
Da ciò segue che per ogni aperto [tex]$A\subseteq \mathbb{R}$[/tex] l'insieme [tex]$\lambda A$[/tex] è un borelliano: infatti ogni aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si può scrivere come unione numerabile di intervalli aperti, [tex]$A=\cup_{n\in \mathbb{N}} I_n$[/tex], quindi [tex]$\lambda A$[/tex] è rappresentabile come unione numerabile [tex]$\cup_{n\in \mathbb{N}} \lambda I_n$[/tex] e l'unione numerabile di Borelliani è un borelliano (perchè la famiglia dei borelliani è una [tex]$\sigma$[/tex]-algebra).
A questo punto, puoi ben dire che ogni compatto [tex]$K\subseteq \mathbb{R}$[/tex] ha [tex]$\lambda K$[/tex] che è borelliano: infatti ogni compatto si scrive come intersezione numerabile di aperti, [tex]$K=\cup_{n\in \mathbb{N}} A_n$[/tex], sicché [tex]$\lambda K$[/tex] si rappresenta come unione numerabile [tex]$\cup_{n\in \mathbb{N}} \lambda A_n$[/tex] e l'unione numerabile di borelliani e un borelliano.
Infine, considera un borelliano [tex]$E\subseteq \mathbb{R}$[/tex]...
Io intanto propongo, se poi qualcun altro vuol dire la sua ben venga...
Come già hai stabilito, per ogni intervallo aperto [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] (ma in verità non importa se è aperto, chiuso, limitato, etc...) l'insieme [tex]$\lambda I$[/tex] è ancora un insieme dello stesso tipo e perciò un borelliano.
Da ciò segue che per ogni aperto [tex]$A\subseteq \mathbb{R}$[/tex] l'insieme [tex]$\lambda A$[/tex] è un borelliano: infatti ogni aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] si può scrivere come unione numerabile di intervalli aperti, [tex]$A=\cup_{n\in \mathbb{N}} I_n$[/tex], quindi [tex]$\lambda A$[/tex] è rappresentabile come unione numerabile [tex]$\cup_{n\in \mathbb{N}} \lambda I_n$[/tex] e l'unione numerabile di Borelliani è un borelliano (perchè la famiglia dei borelliani è una [tex]$\sigma$[/tex]-algebra).
A questo punto, puoi ben dire che ogni compatto [tex]$K\subseteq \mathbb{R}$[/tex] ha [tex]$\lambda K$[/tex] che è borelliano: infatti ogni compatto si scrive come intersezione numerabile di aperti, [tex]$K=\cup_{n\in \mathbb{N}} A_n$[/tex], sicché [tex]$\lambda K$[/tex] si rappresenta come unione numerabile [tex]$\cup_{n\in \mathbb{N}} \lambda A_n$[/tex] e l'unione numerabile di borelliani e un borelliano.
Infine, considera un borelliano [tex]$E\subseteq \mathbb{R}$[/tex]...
Grazie mille!!
Io farei così.
Prendiamo $\lambda\ne0$ (se no è ovvio). Notiamo preliminarmente che
(1) Dato un qualunque insieme $A$ si ha $x\in \lambda A$ sse $x/\lambda\in A$.
Da (1) mi sembra semplice (spero di non prendere un abbaglio) vedere che
(2) per un qualunque insieme $A$ si ha $C(\lambda A)=\lambda C(A)$ (indico con $C(A)$ il complementare di $A$);
(3) per una qualunque successione di insiemi $(A_n)$ si ha $\lambda\bigcup_n A_n=\bigcup_n \lambda A_n$.
Allora definiamo [tex]{\cal A}:=\{A\subset {\mathbb R}^N:\lambda A\in {\cal B}\}[/tex] - dove con [tex]\cal B[/tex] indico la sigma algebra dei boreliani. Si vede che
- [tex]A[/tex] è una sigma algebra per (2) e (3);
- se $A$ è aperto, allora $\lambda A$ è aperto (per esempio da (1) e dalla continuità del prodotto per $1/\lambda$) da cui [tex]A\in\mathcal{A}$.[/tex]
Per la definizione di [tex]B[/tex] si deduce che [tex]{\mathcal B}\subset {\mathcal A}[/tex].
Prendiamo $\lambda\ne0$ (se no è ovvio). Notiamo preliminarmente che
(1) Dato un qualunque insieme $A$ si ha $x\in \lambda A$ sse $x/\lambda\in A$.
Da (1) mi sembra semplice (spero di non prendere un abbaglio) vedere che
(2) per un qualunque insieme $A$ si ha $C(\lambda A)=\lambda C(A)$ (indico con $C(A)$ il complementare di $A$);
(3) per una qualunque successione di insiemi $(A_n)$ si ha $\lambda\bigcup_n A_n=\bigcup_n \lambda A_n$.
Allora definiamo [tex]{\cal A}:=\{A\subset {\mathbb R}^N:\lambda A\in {\cal B}\}[/tex] - dove con [tex]\cal B[/tex] indico la sigma algebra dei boreliani. Si vede che
- [tex]A[/tex] è una sigma algebra per (2) e (3);
- se $A$ è aperto, allora $\lambda A$ è aperto (per esempio da (1) e dalla continuità del prodotto per $1/\lambda$) da cui [tex]A\in\mathcal{A}$.[/tex]
Per la definizione di [tex]B[/tex] si deduce che [tex]{\mathcal B}\subset {\mathcal A}[/tex].
E si. Quindi, generalizzando:
se $f: RR \to RR$ è un omeomorfismo allora $f$ applica Boreliani in Boreliani.
Dimostrazione: come ha fatto VG - $f(ccB)$ è una sigma algebra e contiene gli aperti. Quindi $ccB subset f(ccB)$.
se $f: RR \to RR$ è un omeomorfismo allora $f$ applica Boreliani in Boreliani.
Dimostrazione: come ha fatto VG - $f(ccB)$ è una sigma algebra e contiene gli aperti. Quindi $ccB subset f(ccB)$.
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