Insieme denso esempio

[GuidoFretti1]

Buongiorno, sto studiando da dalle dispense del mio docente e non riesco a capire questo esempio sugli insieme $G_delta$ densi.

Riporto il testo:

Siano $X,Y$ spazi metrici,sia $f:X->Y$ e si supponga che esiste un insieme $A$ di prima categoria in $X$ tale che $f$ è continua su $A^c$. Allora è chiaro che se $X$ è completo $f$ è continua su un insieme $G_delta$ denso in $X$.


Qualcuno mi spiegherebbe quale sarebbe questo insieme $G_delta$ denso e perché la tesi sarebbe immediata?

Grazie

[otta96]

Se $A=uuu_(n\inNN)A_n$ dove $A_n$ sono insiemi mai densi, allora puoi prendere il complementare di $uuu_(n\inNN)\bar{A_n}$ come insieme.
È evidente che sia un $G_\delta$ ed è denso perchè interseca ogni aperto (il suo complementare non ne contiene nessuno).

[GuidoFretti1]

Ciao otta96, ho qualche dubbio: con la notazione $uuu_(n\inNN)\bar{A_n}$ cosa intendi?

E l'ipotesi che $X$ sia completo a che serve?
Grazie

[otta96]

Barrando un insieme ne indico la sua chiusura, è una notazione molto standard, te come la indichi?
L'ipotesi che sia completo serve a dire che è uno spazio di Baire di conseguenza un insieme di prima categoria non contiene nessun aperto. Comunque non ho controllato al 100% che funzioni, controlla tu.

[GuidoFretti1]

ho capito.

adesso provo a scrivere tutto per bene, però ad occhio in effetti adesso che ho capito che va usato Baire dovrebbe funzionare