Insieme denso e classi contigue
Ciao a tutti!! Volevo chiedere un aiuto sul seguente esercizio
Sia $I$ intervallo di $\mathbb{R}$ e siano $U,V\subseteq I$ entrambi non vuoti, con $U\le V$. Mostrare che se $U\cup V$ è denso in $I$, allora $(U,V)$ è una coppia di classi contigue ed il loro elemento separatore [nota]Riporto la definizione di classe contigua data dal testo da cui è preso l'esercizio. Siano $A,B\subseteq \mathbb{R}$ con $A,B\ne \emptyset$. Diciamo che la coppia $(A,B)$ è una classe contigua se $A\le B$ ed esiste un unico elemento separatore tra $A$ e $B$; cioè esiste un unico $\xi\in\mathbb{R}: A\le \xi \le B$.[/nota] appartiene ad $I$.
La mia idea è questa:
Svolgimento. Supponiamo $\xi,\eta\in\mathbb{R}: U\le\xi<\eta\le V$ due separatori di $U, V$. Poiché $I$ è intervallo, $\xi,\eta\in I$. Da $U\cup V$ denso in $I$ segue che esiste $h\in U\cup V: \xi
Il mio problema è che non capisco dove è necessario che $U\cup V$ sia denso in $I$ (se per dire si aveva solo $U$ denso in $I$). Provo a darmi una risposta: a me è venuto in mente che si parla di $U\cup V$ denso in $I$ perché non è possibile avere solo $U$ (o solo $V$) denso in $I$ (non mi viene in mente come possa essere) e nello stesso tempo avere $U\le V$; quindi "per essere compatibile con le ipotesi" bisogna chiedere $U\cup V$ denso in $I$.
Ringrazio in anticipo per l'attenzione, ma soprattutto per la pazienza che ci vuole a leggere queste cose banali (per la maggioranza), ciao a tutti
Sia $I$ intervallo di $\mathbb{R}$ e siano $U,V\subseteq I$ entrambi non vuoti, con $U\le V$. Mostrare che se $U\cup V$ è denso in $I$, allora $(U,V)$ è una coppia di classi contigue ed il loro elemento separatore [nota]Riporto la definizione di classe contigua data dal testo da cui è preso l'esercizio. Siano $A,B\subseteq \mathbb{R}$ con $A,B\ne \emptyset$. Diciamo che la coppia $(A,B)$ è una classe contigua se $A\le B$ ed esiste un unico elemento separatore tra $A$ e $B$; cioè esiste un unico $\xi\in\mathbb{R}: A\le \xi \le B$.[/nota] appartiene ad $I$.
La mia idea è questa:
Svolgimento. Supponiamo $\xi,\eta\in\mathbb{R}: U\le\xi<\eta\le V$ due separatori di $U, V$. Poiché $I$ è intervallo, $\xi,\eta\in I$. Da $U\cup V$ denso in $I$ segue che esiste $h\in U\cup V: \xi
Il mio problema è che non capisco dove è necessario che $U\cup V$ sia denso in $I$ (se per dire si aveva solo $U$ denso in $I$). Provo a darmi una risposta: a me è venuto in mente che si parla di $U\cup V$ denso in $I$ perché non è possibile avere solo $U$ (o solo $V$) denso in $I$ (non mi viene in mente come possa essere) e nello stesso tempo avere $U\le V$; quindi "per essere compatibile con le ipotesi" bisogna chiedere $U\cup V$ denso in $I$.
Ringrazio in anticipo per l'attenzione, ma soprattutto per la pazienza che ci vuole a leggere queste cose banali (per la maggioranza), ciao a tutti
Risposte
Se non è soddisfatta l'ipotesi di densità, non puoi affermare che le classi sono contigue. Prendi ad esempio I = [0, 3], U = [0, 1], V = [2, 3]. 
Ho capito, ma prendi ad esempio lo stesso esercizio dove ti dicono "solo $U$ è denso in $I$", cosa mi dici? perchè non sono contigue? capisco che sia assurda sta roba 
Se $U$ è denso in $I$, a maggior ragione $U \cup V$ è denso in $I$, per cui si può applicare la tua dimostrazione. Perché ti ponevi questa domanda? Comunque se prendi $I = [0, 1]$, $U = [0, 1)$, $V = {1}$, ottieni la situazione della proposizione in cui anche il solo $U$ è denso in $I$; puoi provare a dimostrare che, se $U$ è denso in $I$, $V$ consiste necessariamente di un unico punto!
pier.paolo, ti ringrazio infinitamente per la pazienza. Mi ponevo quella domanda perché probabilmente non riuscivo ad immaginarmi una situazione in cui solo uno dei due è denso; situazione che mi hai appena descritto tu 
. Il fatto che se $U$ è denso in $I$ allora $V$ deve avere un unico elemento, lo dimostrerei così (un po' allo stesso modo).
Siano $U,V$ come sopra, $U$ denso in $I$. Siano $v_1,v_2\in V\subseteqI: v_1
Non so se può andare, ma in ogni caso credo di aver capito, ti ringrazio ancora per l'aiuto.
. Il fatto che se $U$ è denso in $I$ allora $V$ deve avere un unico elemento, lo dimostrerei così (un po' allo stesso modo).Siano $U,V$ come sopra, $U$ denso in $I$. Siano $v_1,v_2\in V\subseteqI: v_1
Non so se può andare, ma in ogni caso credo di aver capito, ti ringrazio ancora per l'aiuto
.
Esatto di nulla!
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